Criteri de stabilitat de Routh-Hurwitz

Criteri de stabilitat de Routh Hurwitz: Definició

És un mètode per determinar la stabilitat d'un sistema utilitzant l'equació característica.

Criteri de Hurwitz

Utilitzant l'equació característica, podem crear diversos determinants de Hurwitz per determinar la stabilitat del sistema. L'equació característica del sistema es defineix de la següent manera:

Hi ha n determinants per a una equació característica d'ordre n.

Aquest és el procés per escriure els determinants a partir dels coeficients de l'equació característica. Segueix aquests passos per a una equació característica d'ordre k:

Determinant un : El valor d'aquest determinant es dóna per |a1| on a1 és el coeficient de sn-1 en l'equació característica.

Determinant dos : El valor d'aquest determinant es dóna per

Aquí, el nombre d'elements en cada fila és igual al número de determinant, i tenim que el número de determinant aquí és dos. La primera fila consisteix en els primers dos coeficients senars i la segona fila consisteix en els primers dos coeficients parells.

Determinant tres : El valor d'aquest determinant es dóna per

Aquí, el nombre d'elements en cada fila és igual al número de determinant, i tenim que el número de determinant aquí és tres. La primera fila consisteix en els primers tres coeficients senars, la segona fila consisteix en els primers tres coeficients parells i la tercera fila consisteix en el primer element com a zero i els restants dos elements com els primers dos coeficients senars.

Determinant quatre: El valor d'aquest determinant es dóna per,

Aquí, el nombre d'elements en cada fila és igual al número de determinant, i tenim que el número de determinant aquí és quatre. La primera fila consisteix en els primers quatre coeficients, la segona fila consisteix en els primers quatre coeficients parells, la tercera fila consisteix en el primer element com a zero i els restants tres elements com els primers tres coeficients senars, i la quarta fila consisteix en el primer element com a zero i els restants tres elements com els primers tres coeficients parells.

Seguint el mateix procediment, podem generalitzar la formació del determinant. La forma general del determinant es dóna a continuació:

Per comprovar la stabilitat del sistema, calculeu el valor de cada determinant. El sistema és estable si cada determinant és positiu. Si algun determinant no és positiu, el sistema no és estable.

Criteri de stabilitat de Routh

Aquest criteri també és conegut com el Criteri de Hurwitz modificat de la stabilitat del sistema. Estudiarem aquest criteri en dues parts. La part una cobrirà la condició necessària per a la stabilitat del sistema i la part dos cobrirà la condició suficient per a la stabilitat del sistema. Considerem de nou l'equació característica del sistema com

1)     Part una (condició necessària per a la stabilitat del sistema): Aquí tenim dues condicions que s'escriuen a continuació:

• Tots els coeficients de l'equació característica haurien de ser positius i reals.

• Tots els coeficients de l'equació característica haurien de ser no nuls.

2)     Part dos (condició suficient per a la stabilitat del sistema): Primer construïm la taula de Routh. Per construir la taula de Routh, segueix aquests passos:

La primera fila consistirà en tots els termes parells de l'equació característica. Disposa'ls des del primer (terme parell) fins al darrer (terme parell). La primera fila es escriu a continuació: a0 a2 a4 a6…………

La segona fila consistirà en tots els termes senars de l'equació característica. Disposa'ls des del primer (terme senar) fins al darrer (terme senar). La segona fila es escriu a continuació: a1 a3 a5 a7………..

Els elements de la tercera fila es poden calcular com:

Primer element : Multiplica a0 amb l'element diagonalment oposat de la columna següent (és a dir, a3) i després resta això del producte de a1 i a2 (on a2 és l'element diagonalment oposat de la columna següent) i finalment divideix el resultat obtingut entre a1. Matemàticament escrivim com el primer element

Segon element : Multiplica a0 amb l'element diagonalment oposat de la columna següent (és a dir, a5) i després resta això del producte de a1 i a4 (on a4 és l'element diagonalment oposat de la columna següent) i finalment divideix el resultat obtingut entre a1. Matemàticament escrivim com el segon element

De manera similar, podem calcular tots els elements de la tercera fila.

(d) Els elements de la quarta fila es poden calcular utilitzant el següent procediment:

Primer element : Multiplica b1 amb l'element diagonalment oposat de la columna següent (és a dir, a3) i després resta això del producte de a1 i b2 (on b2 és l'element diagonalment oposat de la columna següent) i finalment divideix el resultat obtingut entre b1. Matemàticament escrivim com el primer element

 (2) Segon element : Multiplica b1 amb l'element diagonalment oposat de la columna següent (és a dir, a5) i després resta això del producte de a1 i b3 (on b3 és l'element diagonalment oposat de la columna següent) i finalment divideix el resultat obtingut entre a1. Matemàticament escrivim com el segon element

De manera similar, podem calcular tots els elements de la quarta fila.

De manera similar, podem calcular tots els elements de totes les files.

Criteri de stabilitat: si tots els elements de la primera columna són positius, llavors el sistema serà estable. No obstant això, si algun d'ells és negatiu, el sistema serà inestable.

Ara hi ha alguns casos especials relacionats amb el Criteri de Stabilitat de Routh que es discuteixen a continuació:

Cas un: Si el primer terme de qualsevol fila de la taula és zero mentre que la resta de la fila té almenys un terme no nul. En aquest cas assumirem un valor molt petit (ε) que tendeix a zero en lloc de zero. Reemplaçant zero amb (ε), calcularem tots els elements de la taula de Routh. 

Després de calcular tots els elements, aplicarem el límit a cada element que conté (ε). Resolent el límit a cada element, si obtenim un valor límit positiu, direm que el sistema donat és estable, en tots els altres casos, direm que el sistema donat no és estable.

Cas dos : Quan tots els elements de qualsevol fila de la taula de Routh són zero. En aquest cas, podem dir que el sistema té símptomes de stabilitat marginal. Primer comprenem el significat físic de tenir tots els elements zero de qualsevol fila. 

El significat físic és que hi ha arrels simètricament localitzades de l'equació característica al pla s. Ara, per a trobar la stabilitat en aquest cas, primer trobarem l'equació auxiliar. L'equació auxiliar es pot formar utilitzant els elements de la fila just per sobre de la fila de zeros a la taula de Routh. Després de trobar l'equació auxiliar, la diferenciarem per obtenir els elements de la fila de zeros. 

Si no hi ha canvi de signe en la nova taula de Routh formada utilitzant l'equació auxiliar, en aquest cas diem que el sistema donat és establ limitat. En tots els altres casos, diem que el sistema donat és inestable.