Kritérium stability Routh-Hurwitz

Definice kritéria stability Routh-Hurwitz

Je to metoda pro určení stability systému pomocí charakteristické rovnice.

Kritérium Hurwitz

Pomocí charakteristické rovnice můžeme vytvořit několik determinantů Hurwitz, aby jsme určili stabilitu systému. Charakteristická rovnice systému je definována následovně:

Pro charakteristickou rovnici n-tého řádu existuje n determinantů.

Zde je způsob, jak zapsat determinanty z koeficientů charakteristické rovnice. Postupujte podle těchto kroků pro charakteristickou rovnici k-tého řádu:

Determinant jedna : Hodnota tohoto determinantu je dána |a1|, kde a1 je koeficient sn-1 v charakteristické rovnici.

Determinant dva : Hodnota tohoto determinantu je dána

Počet prvků v každém řádku je roven číslu determinantu a zde máme determinant dva. První řádek se skládá z prvních dvou lichých koeficientů a druhý řádek z prvních dvou sudých koeficientů.

Determinant tři : Hodnota tohoto determinantu je dána

Počet prvků v každém řádku je roven číslu determinantu a zde máme determinant tři. První řádek se skládá z prvních tří lichých koeficientů, druhý řádek z prvních tří sudých koeficientů a třetí řádek se skládá z prvního prvku jako nula a zbývajících dvou prvků jako první dva liché koeficienty.

Determinant čtyři: Hodnota tohoto determinantu je dána,

Počet prvků v každém řádku je roven číslu determinantu a zde máme determinant čtyři. První řádek se skládá z prvních čtyř koeficientů, druhý řádek z prvních čtyř sudých koeficientů, třetí řádek se skládá z prvního prvku jako nula a zbývajících tří prvků jako prvních tři liché koeficienty a čtvrtý řádek se skládá z prvního prvku jako nula a zbývajících tří prvků jako prvních tři sudé koeficienty.

Postupem stejným postupem můžeme zobecnit tvorbu determinantů. Obecná forma determinantu je uvedena níže:

Pro kontrolu stability systému spočítejte hodnotu každého determinantu. Systém je stabilní, pokud je každý determinant kladný. Pokud není žádný determinant kladný, systém není stabilní.

Kritérium stability Routh

Toto kritérium je také známé jako upravené kritérium stability Hurwitz. Studujeme toto kritérium ve dvou částech. První část bude pokrývat nezbytnou podmínku stability systému a druhá část bude pokrývat dostatečnou podmínku stability systému. Znovu zvažme charakteristickou rovnici systému jako

1)     První část (nezbytná podmínka stability systému): V této části máme dvě podmínky, které jsou uvedeny níže:

• Všechny koeficienty charakteristické rovnice by měly být kladné a reálné.

• Všechny koeficienty charakteristické rovnice by měly být nenulové.

2)     Druhá část (dostatečná podmínka stability systému): Nejdříve sestavíme tabulku Routh. Pro sestavení tabulky Routh postupujte podle těchto kroků:

První řádek bude obsahovat všechny sudé členy charakteristické rovnice. Uspořádejte je od prvního (sudého členu) do posledního (sudého členu). První řádek je napsán níže: a0 a2 a4 a6…………

Druhý řádek bude obsahovat všechny liché členy charakteristické rovnice. Uspořádejte je od prvního (lichého členu) do posledního (lichého členu). Druhý řádek je napsán níže: a1 a3 a5 a7………..

Prvky třetího řádku lze vypočítat následovně:

První prvek : Vynásobte a0 diagonálně protilehlým prvkem dalšího sloupce (tj. a3), pak odečtěte tento součin od součinu a1 a a2 (kde a2 je diagonálně protilehlý prvek dalšího sloupce) a nakonec výsledek, který jste získali, vydělte a1. Matematicky zapíšeme první prvek jako

Druhý prvek : Vynásobte a0 diagonálně protilehlým prvkem dalšího sloupce (tj. a5), pak odečtěte tento součin od součinu a1 a a4 (kde a4 je diagonálně protilehlý prvek dalšího sloupce) a nakonec výsledek, který jste získali, vydělte a1. Matematicky zapíšeme druhý prvek jako

Podobně můžeme vypočítat všechny prvky třetího řádku.

(d) Prvky čtvrtého řádku lze vypočítat použitím následujícího postupu:

První prvek : Vynásobte b1 diagonálně protilehlým prvkem dalšího sloupce (tj. a3), pak odečtěte tento součin od součinu a1 a b2 (kde b2 je diagonálně protilehlý prvek dalšího sloupce) a nakonec výsledek, který jste získali, vydělte b1. Matematicky zapíšeme první prvek jako

 (2) Druhý prvek : Vynásobte b1 diagonálně protilehlým prvkem dalšího sloupce (tj. a5), pak odečtěte tento součin od součinu a1 a b3 (kde b3 je diagonálně protilehlý prvek dalšího sloupce) a nakonec výsledek, který jste získali, vydělte a1. Matematicky zapíšeme druhý prvek jako

Podobně můžeme vypočítat všechny prvky čtvrtého řádku.

Podobně můžeme vypočítat všechny prvky všech řádků.

Kritérium stability: Pokud jsou všechny prvky prvního sloupce kladné, systém bude stabilní. Pokud je však alespoň jeden z nich záporný, systém bude nestabilní.

Nyní existují některé speciální případy související s kritériem stability Routh, které jsou uvedeny níže:

Případ jedna: Pokud je první člen v libovolném řádku pole nula, zatímco zbytek řádku má alespoň jeden nenulový člen.V tomto případě předpokláme velmi malou hodnotu (ε), která se blíží k nule na místě nuly. Nahrazením nuly (ε) vypočítáme všechny prvky pole Routh. 

Po vypočtení všech prvků aplikujeme limitu na každý prvek obsahující (ε). Po vyřešení limity u každého prvku, pokud získáme kladnou limitní hodnotu, řekneme, že daný systém je stabilní, jinak všemi ostatními podmínkami řekneme, že daný systém není stabilní.

Případ druhý : Když jsou všechny prvky libovolného řádku pole Routh nulové. V tomto případě můžeme říci, že systém má symptomy marginální stability. Nejprve pochopme fyzikální význam, že všechny prvky nějakého řádku jsou nulové. 

Fyzikální význam je, že v rovině s jsou symetricky umístěné kořeny charakteristické rovnice.Abychom nyní zjistili stabilitu v tomto případě, nejprve najdeme pomocnou rovnici. Pomocnou rovnici lze sestavit pomocí prvků řádku hned nad řádkem nul v poli Routh. Po nalezení pomocné rovnice ji zderivujeme, abychom získali prvky nulového řádku. 

Pokud není v novém poli Routh sestaveném pomocí pomocné rovnice žádná změna znaménka, řekneme, že daný systém je omezeně stabilní. V všech ostatních případech řekneme, že daný systém je nestabilní.