Рут-Гурвицтың стабилділік критерийі

Раус-Гурвиц критерий стабильности анықтамасы

Бұл әдіс характеристикалық теңдеу арқылы жүйенің стабилдігін анықтау үшін қолданылады.

Гурвиц критерийі

Характеристикалық теңдеу арқылы біз жүйенің стабилдігін анықтау үшін бірнеше Гурвиц детерминанттарын құрастыруға болады. Жүйенің характеристикалық теңдеуі мына түрде анықталады:

n-ші реттегі характеристикалық теңдеу үшін n детерминант бар.

Мына түрде характеристикалық теңдеудің коэффициенттерінен детерминанттарды жазу үшін. k-ші реттегі характеристикалық теңдеу үшін мындай қадамдарды қолданыңыз:

Бірінші детерминант : Бұл детерминанттың мәні |a1|, мұнда a1 - характеристикалық теңдеудегі sn-1-ге сәйкес коэффициент.

Екінші детерминант : Бұл детерминанттың мәні

Әрбір қатардағы элементтер саны детерминант санына тең, осы жағдайда детерминант саны екеу. Бірінші қатарда бірінші екі тақ коэффициент, екінші қатарда бірінші екі жұп коэффициент бар.

Үшінші детерминант : Бұл детерминанттың мәні

Әрбір қатардағы элементтер саны детерминант санына тең, осы жағдайда детерминант саны үш. Бірінші қатарда бірінші үш тақ коэффициент, екінші қатарда бірінші үш жұп коэффициент, үшінші қатарда бірінші элемент нөл, ал қалған екеуі бірінші екі тақ коэффициент.

Төртінші детерминант: Бұл детерминанттың мәні,

Әрбір қатардағы элементтер саны детерминант санына тең, осы жағдайда детерминант саны төрт. Бірінші қатарда бірінші төрт коэффициент, екінші қатарда бірінші төрт жұп коэффициент, үшінші қатарда бірінші элемент нөл, ал қалған үш элемент бірінші үш тақ коэффициент, төртінші қатарда бірінші элемент нөл, ал қалған үш элемент бірінші үш жұп коэффициент.

Осы процедураны қолданып, детерминанттардың жалпы формасын шығаруға болады. Детерминанттардың жалпы формуласы мына түрде беріледі:

Жүйенің стабилдігін тексеру үшін әрбір детерминанттың мәнін есептеңіз. Егер әрбір детерминант теріс емес болса, онда жүйе стабилді. Егер кез келген детерминант теріс болса, онда жүйе стабилді емес.

Раус стабилдік критерийі

Бұл критерий жүйенің стабилдігі үшін өзгертілген Гурвиц критерийі деп да аталады. Біз бұл критерийді екі бөлімде қарастырамыз. Бірінші бөлім жүйенің стабилдігі үшін қажетті шартты, екінші бөлім жүйенің стабилдігі үшін жеткілікті шартты қарастырады. Енді жүйенің характеристикалық теңдеуін қайталап қарастырайық:

1)     Бірінші бөлім (жүйенің стабилдігі үшін қажетті шарт): Бұлда біз екеу қажетті шартты қарастырамыз:

• Характеристикалық теңдеудің барлық коэффициенттері оң және нақты болуы керек.

• Характеристикалық теңдеудің барлық коэффициенттері нөлден айры болуы керек.

2)     Екінші бөлім (жүйенің стабилдігі үшін жеткілікті шарт): Алғаш Раус массивін құрастырайық. Раус массивін құрастыру үшін мындай қадамдарды қолданыңыз:

Бірінші қатарда характеристикалық теңдеудің барлық жұп терминдері болады. Оларды бірінші (жұп термин) ден соңғы (жұп термин) ге дейін ұстандырыңыз. Бірінші қатар мына түрде жазылады: a0 a2 a4 a6…………

Екінші қатарда характеристикалық теңдеудің барлық тақ терминдері болады. Оларды бірінші (тақ термин) ден соңғы (тақ термин) ге дейін ұстандырыңыз. Екінші қатар мына түрде жазылады: a1 a3 a5 a7………..

Үшінші қатардың элементтері мынадай қадамдармен есептеледі:

Бірінші элемент : a0-ді келесі бағандагы диагональді оқиға қарсы элементпен (яғни a3) көбейтіңіз, содан кейін бұл a1 мен a2 (мұнда a2 - келесі бағандагы диагональді оқиға қарсы элемент) өрнектерінің көбейтіндісінен алыңыз, содан кейін нәтижені a1-ге бөліңіз. Математикалық түрде біз бірінші элемент

Екінші элемент : a0-ді келесі бағандан кейінгі диагональді оқиға қарсы элементпен (яғни a5) көбейтіңіз, содан кейін бұл a1 мен a4 (мұнда, a4 - келесі бағандан кейінгі диагональді оқиға қарсы элемент) өрнектерінің көбейтіндісінен алыңыз, содан кейін нәтижені a1-ге бөліңіз. Математикалық түрде біз екінші элемент

Сонымен қатар, үшінші қатардың барлық элементтерін есептеуге болады.

(d) Төртінші қатардың элементтерін мынадай қадамдармен есептеуге болады:

Бірінші элемент : b1-ді келесі бағандагы диагональді оқиға қарсы элементпен (яғни a3) көбейтіңіз, содан кейін бұл a1 мен b2 (мұнда, b2 - келесі бағандагы диагональді оқиға қарсы элемент) өрнектерінің көбейтіндісінен алыңыз, содан кейін нәтижені b1-ге бөліңіз. Математикалық түрде біз бірінші элемент

 (2) Екінші элемент : b1-ді келесі бағандан кейінгі диагональді оқиға қарсы элементпен (яғни a5) көбейтіңіз, содан кейін бұл a1 мен b3 (мұнда, b3 - келесі бағандан кейінгі диагональді оқиға қарсы элемент) өрнектерінің көбейтіндісінен алыңыз, содан кейін нәтижені a1-ге бөліңіз. Математикалық түрде біз екінші элемент

Сонымен қатар, төртінші қатардың барлық элементтерін есептеуге болады.

Сонымен қатар, барлық қатарлардың барлық элементтерін есептеуге болады.

Стабилділік критерийі: егер Раус массивінің бірінші бағанының барлық элементтері оң болса, онда жүйе стабилді болады. Егер олардың ішінде кез келген бірі теріс болса, онда жүйе стабилді емес болады.

Енді Раус стабилдік критерийіне қатысты бірнеше арнайы жағдайлар қарастырылады:

Бірінші жағдай: Егер массивтегі қандай да бір қатардың бірінші элементі нөл, ал қалған қатардаңызда кемінде бір нөлден басқа элемент бар болса. Бұл жағдайда біз (ε) деген өте аз мәнді (нөлге жуық) қойамыз. Нөлді (ε) арқылы ауыстырып, Раус массивінің барлық элементтерін есептеміз. 

Барлық элементтерді есептегеннен кейін (ε) қосылған әрбір элементке шек арқылы шешім қоюға болады. Егер әрбір элементте (ε) қосылғанда оң шек мәнін алсақ, онда берілген жүйе стабилді деп айтамыз, басқа барлық жағдайларда берілген жүйе стабилді емес деп айтамыз.

Екінші жағдай : Егер Раус массивінің қандай да бір қатарының барлық элементтері нөл болса. Бұл жағдайда біз жүйенің маржиналды стабилділік белгілерін айтамыз. Алдымен қатардың барлық элементтері нөл болуының физикалық мағынасын түсінеміз. 

Физикалық мағынасы - s-жазықтығында характеристикалық теңдеудің симметриялық орналасқан түбірлері бар. Енді бұл жағдайда стабилділікті анықтау үшін біз алдын ала көмекші теңдеуді табамыз. Көмекші теңдеуді Раус массивінің нөл қатарынан жоғары қатарының элементтерін пайдаланып құрастыруға болады. Көмекші теңдеуді табу кейін, оның туындысын алу арқылы нөл қатарының элементтерін алуға болады. 

Егер көмекші теңдеуді пайдаланып құрастырылған жаңа Раус массивінде таңбасы өзгермесе, онда біз берілген жүйенің шектелген стабилді болғанын айтамыз. Басқа барлық жағдайларда біз берілген жүйенің стабилді емес болғанын айтамыз.