קריטריון יציבות רות-הורוויץ

מבחן יציבות רות-הורוויץ

זהו שיטה לקביעת יציבות של מערכת באמצעות המשוואה האופיינית.

קריטריון הורוויץ

באמצעות המשוואה האופיינית, ניתן ליצור מספר דטרמיננטות של הורוויץ לקביעת יציבות המערכת. המשוואה האופיינית של המערכת מוגדרת כך:

ישנן n דטרמיננטות עבור משוואה אופיינית מסדר n.

כיצד לכתוב דטרמיננטות מקoefficients של המשוואה האופיינית. לעקוב אחר השלבים הללו עבור משוואה אופיינית מסדר k:

דטרמיננטה ראשונה : ערכה נתון על ידי |a1| כאשר a1 הוא המקדם של sn-1 במשוואה האופיינית.

דטרמיננטה שנייה : ערכה נתון על ידי

המספר של אלמנטים בכל שורה שווה למספר הדטרמיננטה, ויש לנו כאן מספר דטרמיננטה שתיים. השורה הראשונה כוללת את שני המקדמים האי-זוגיים הראשונים, והשורה השנייה כוללת את שני המקדמים הזוגיים הראשונים.

דטרמיננטה שלישית : ערכה נתון על ידי

המספר של אלמנטים בכל שורה שווה למספר הדטרמיננטה, ויש לנו כאן מספר דטרמיננטה שלוש. השורה הראשונה כוללת את שלושת המקדמים האי-זוגיים הראשונים, השורה השנייה כוללת את שלושת המקדמים הזוגיים הראשונים והשורה השלישית כוללת את האלמנט הראשון כ-0 ואת שני האלמנטים האחרים כשני המקדמים האי-זוגיים הראשונים.

דטרמיננטה רביעית: ערכה נתון על ידי,

המספר של אלמנטים בכל שורה שווה למספר הדטרמיננטה, ויש לנו כאן מספר דטרמיננטה ארבע. השורה הראשונה כוללת את ארבעת המקדמים הראשונים, השורה השנייה כוללת את ארבעת המקדמים הזוגיים הראשונים, השורה השלישית כוללת את האלמנט הראשון כ-0 ואת שלושת האלמנטים האחרים כשלושת המקדמים האי-זוגיים הראשונים והשורה הרביעית כוללת את האלמנט הראשון כ-0 ואת שלושת האלמנטים האחרים כשלושת המקדמים הזוגיים הראשונים.

על ידי העברת אותו תהליך ניתן להכליל את יצירת הדטרמיננטה. הצורה הכללית של הדטרמיננטה נתונה להלן:

כדי לבדוק את יציבות המערכת, יש לחשב את ערך כל דטרמיננטה. המערכת היא יציבה אם כל דטרמיננטה חיובית. אם כל דטרמיננטה אינה חיובית, המערכת אינה יציבה.

קריטריון יציבות רות

קריטריון זה ידוע גם כקריטריון הורוויץ המעודכן של יציבות המערכת. נחקר את הקריטריון הזה בשני חלקים. החלק הראשון יכסה את התנאי הנדרש ליציבות המערכת והחלק השני יכסה את התנאי הספיק ליציבות המערכת. שוב, נתבונן במשוואה האופיינית של המערכת

1)     חלק ראשון (תנאי הנדרש ליציבות המערכת): יש לנו כאן שני תנאים המופיעים להלן:

• כל המקדמים של המשוואה האופיינית צריכים להיות חיוביים ואמיתיים.

• כל המקדמים של המשוואה האופיינית צריכים להיות שונים מאפס.

2)     חלק שני (תנאי ספיק ליציבות המערכת): נבנה קודם טבלה של רות. כדי לבנות את טבלת רות לעקוב אחרי השלבים הבאים:

השורה הראשונה תכלול את כל האיברים הזוגיים של המשוואה האופיינית. לסדר אותם מהראשון (איבר זוגי) עד האחרון (איבר זוגי). השורה הראשונה כתובה להלן: a0 a2 a4 a6…………

השורה השנייה תכלול את כל האיברים האי-זוגיים של המשוואה האופיינית. לסדר אותם מהראשון (איבר אי-זוגי) עד האחרון (איבר אי-זוגי). השורה השנייה כתובה להלן: a1 a3 a5 a7………..

האלמנטים של השורה השלישית יכולים להתבצע באופן הבא:

אלמנט ראשון : להכפיל a0 עם האלמנט שמולו בטור הבא (כלומר a3) ואז לחסר את זה מכפלת a1 ו-a2 (כאשר a2 הוא האלמנט שמולו בטור הבא) ואז לבסוף לחלק את התוצאה כך שנקבל ב-a1. מתמטית אנו כותבים כאלמנט ראשון

אלמנט שני : להכפיל a0 עם האלמנט שמולו בשני טורים הבאים (כלומר a5) ואז לחסר את זה מכפלת a1 ו-a4 (כאשר a4 הוא האלמנט שמולו בשני טורים הבאים) ואז לבסוף לחלק את התוצאה כך שנקבל ב-a1. מתמטית אנו כותבים כאלמנט שני

באופן דומה, ניתן לחשב את כל האלמנטים של השורה השלישית.

(d) האלמנטים של השורה הרביעית יכולים לחושב באמצעות התהליך הבא:

אלמנט ראשון : להכפיל b 1 עם האלמנט שמולו בטור הבא (כלומר a3) ואז לחסר את זה מכפלת a1 ו-b2 (כאשר b2 הוא האלמנט שמולו בטור הבא) ואז לבסוף לחלק את התוצאה כך שנקבל ב-b1. מתמטית אנו כותבים כאלמנט ראשון

 (2) אלמנט שני : להכפיל b1 עם האלמנט שמולו בשני טורים הבאים (כלומר a5) ואז לחסר את זה מכפלת a1 ו-b3 (כאשר b3 הוא האלמנט שמולו בשני טורים הבאים) ואז לבסוף לחלק את התוצאה כך שנקבל ב-a1. מתמטית אנו כותבים כאלמנט שני

באופן דומה, ניתן לחשב את כל האלמנטים של השורה הרביעית.

באופן דומה, ניתן לחשב את כל האלמנטים של כל השורות.

קריטריונים של יציבות אם כל האלמנטים בעמודה הראשונה הם חיוביים אז המערכת תהיה יציבה. אבל אם אחד מהם שלילי המערכת תהיה לא יציבה.

ישנם כמה מקרים מיוחדים הקשורים לקריטריון יציבות רות המופיעים להלן:

מקרה ראשון: אם האיבר הראשון בשורה מסוימת בטבלה הוא אפס בעוד שהשורה שאר האיברים לפחות אחד שונה מאפס. במקרה זה נניח ערך מאוד קטן (ε) המתקרב לאפס במקום האפס. על ידי החלפת האפס ב-(ε) נחשב את כל האלמנטים בטבלת רות. 

אחרי חישוב כל האלמנטים נפעיל גבול על כל אלמנט המכיל (ε). על ידי פתרון הגבול על כל אלמנט, אם נקבל ערך גבול חיובי נגיד שהמערכת הנתונה היא יציבה, אחרת בהרבה מצבים אחרים נגיד שהמערכת הנתונה היא לא יציבה.

מקרה שני : כאשר כל האלמנטים בשורה מסוימת בטבלת רות הם אפס. במקרה זה אפשר לומר שהמערכת מציגה תסמינים של יציבות גבולית. בואו קודם נבין את המשמעות הפיזית של כל האלמנטים אפס בשורה כלשהי. 

המשמעות הפיזית היא שיש שורשים ממוקמים סימטרית של המשוואה האופיינית במישור s. עכשיו כדי למצוא יציבות במקרה זה נבנה קודם משוואה עזר. משוואה עזר יכולה להיווצר בעזרת האלמנטים של השורה מעל השורה של האפסים בטבלת רות. אחרי מציאת משוואה עזר נגזור את משוואה עזר כדי לקבל אלמנטים בשורה של האפסים. 

אם אין שינוי בסימן בטבלת רות החדשה שנבנתה בעזרת משוואה עזר, אז במקרה זה נגיד שהמערכת הנתונה היא יציבה גבולית. בהרבה מצבים אחרים נגיד שהמערכת הנתונה היא לא יציבה.