Criterio de estabilidade de Routh-Hurwitz

Criterio de estabilidade de Routh Hurwitz

É un método para determinar a estabilidade dun sistema usando a ecuación característica.

Criterio de Hurwitz

Usando a ecuación característica, podemos crear varios determinantes de Hurwitz para determinar a estabilidade do sistema. A ecuación característica do sistema defínese do seguinte xeito:

Hai n determinantes para unha ecuación característica de orde n.

Así é como se escriben os determinantes a partir dos coeficientes da ecuación característica. Segue estes pasos para unha ecuación característica de orde k:

Determinante un : O valor deste determinante dáse por |a1| onde a1 é o coeficiente de sn-1 na ecuación característica.

Determinante dous : O valor deste determinante dáse por

O número de elementos en cada fila é igual ao número de determinante e temos que o número de determinante aquí é dous. A primeira fila consiste nos dous primeiros coeficientes impares e a segunda fila consiste nos dous primeiros coeficientes pares.

Determinante tres : O valor deste determinante dáse por

O número de elementos en cada fila é igual ao número de determinante e temos que o número de determinante aquí é tres. A primeira fila consiste nos tres primeiros coeficientes impares, a segunda fila consiste nos tres primeiros coeficientes pares e a terceira fila consiste no primeiro elemento como cero e os outros dous elementos como os dous primeiros coeficientes impares.

Determinante catro: O valor deste determinante dáse por,

O número de elementos en cada fila é igual ao número de determinante e temos que o número de determinante aquí é catro. A primeira fila consiste nos catro primeiros coeficientes, a segunda fila consiste nos catro primeiros coeficientes pares, a terceira fila consiste no primeiro elemento como cero e os outros tres elementos como os tres primeiros coeficientes impares, a cuarta fila consiste no primeiro elemento como cero e os outros tres elementos como os tres primeiros coeficientes pares.

Seguindo o mesmo procedemento, podemos xeneralizar a formación do determinante. A forma xeral do determinante débase abaixo:

Para comprobar a estabilidade do sistema, calcula o valor de cada determinante. O sistema é estable se cada determinante é positivo. Se calquera determinante non é positivo, o sistema non é estable.

Criterio de estabilidade de Routh

Este criterio tamén é coñecido como o criterio modificado de Hurwitz para a estabilidade do sistema. Estudaremos este criterio en dúas partes. A parte unha cubrirá a condición necesaria para a estabilidade do sistema e a parte dous cubrirá a condición suficiente para a estabilidade do sistema. Consideremos de novo a ecuación característica do sistema como

1)     Parte unha (condición necesaria para a estabilidade do sistema): Nesta temos dúas condicións que están escritas abaixo:

• Todos os coeficientes da ecuación característica deben ser positivos e reais.

• Todos os coeficientes da ecuación característica deben ser non cero.

2)     Parte dous (condición suficiente para a estabilidade do sistema): Construímos primeiro a táboa de Routh. Para construir a táboa de Routh, segue estes pasos:

A primeira fila consistirá en todos os termos pares da ecuación característica. Ordenalos desde o primeiro (termo par) ata o último (termo par). A primeira fila escríbese abaixo: a0 a2 a4 a6…………

A segunda fila consistirá en todos os termos impares da ecuación característica. Ordenalos desde o primeiro (termo impar) ata o último (termo impar). A segunda fila escríbese abaixo: a1 a3 a5 a7………..

Os elementos da terceira fila poden calcularse como:

Primeiro elemento : Multiplica a0 polo elemento diagonalmente oposto da columna seguinte (isto é, a3), despois resta isto do produto de a1 e a2 (onde a2 é o elemento diagonalmente oposto da columna seguinte) e finalmente divide o resultado obtido con a1. Matematicamente escribimos como primeiro elemento

Segundo elemento : Multiplica a0 polo elemento diagonalmente oposto da columna seguinte (isto é, a5), despois resta isto do produto de a1 e a4 (onde a4 é o elemento diagonalmente oposto da columna seguinte) e finalmente divide o resultado obtido con a1. Matematicamente escribimos como segundo elemento

De maneira semellante, podemos calcular todos os elementos da terceira fila.

(d) Os elementos da cuarta fila poden calcularse utilizando o seguinte procedemento:

Primeiro elemento : Multiplica b1 polo elemento diagonalmente oposto da columna seguinte (isto é, a3), despois resta isto do produto de a1 e b2 (onde b2 é o elemento diagonalmente oposto da columna seguinte) e finalmente divide o resultado obtido con b1. Matematicamente escribimos como primeiro elemento

 (2) Segundo elemento : Multiplica b1 polo elemento diagonalmente oposto da columna seguinte (isto é, a5), despois resta isto do produto de a1 e b3 (onde b3 é o elemento diagonalmente oposto da columna seguinte) e finalmente divide o resultado obtido con a1. Matematicamente escribimos como segundo elemento

De maneira semellante, podemos calcular todos os elementos da cuarta fila.

De maneira semellante, podemos calcular todos os elementos de todas as filas.

Critério de estabilidade se todos os elementos da primeira columna son positivos, entón o sistema será estable. No entanto, se alguno deles é negativo, o sistema será inestable.

Agora hai algúns casos especiais relacionados co criterio de estabilidade de Routh que se discuten a continuación:

Caso un: Se o primeiro termo en calquera fila da táboa é cero mentres que o resto da fila ten polo menos un termo non cero.Neste caso, asumiremos un valor moi pequeno (ε) que tende a cero no lugar de cero. Ao substituír cero por (ε), calcularemos todos os elementos da táboa de Routh. 

Despois de calcular todos os elementos, aplicaremos o límite en cada elemento que contén (ε). Ao resolver o límite en cada elemento, se obtemos un valor límite positivo, diremos que o sistema dado é estable, senón, en todas as outras condicións, diremos que o sistema dado non é estable.

Caso segundo : Cando todos os elementos de calquera fila da táboa de Routh son cero. Neste caso, podemos dicir que o sistema ten síntomas de estabilidade marginal. Compreendamos primeiro o significado físico de ter todos os elementos cero de calquera fila. 

O significado físico é que hai raíces simetricamente situadas da ecuación característica no plano s.Para atopar a estabilidade neste caso, primeiro atoparemos a ecuación auxiliar. A ecuación auxiliar pode formarse usando os elementos da fila xusto encima da fila de ceros na táboa de Routh. Despois de atopar a ecuación auxiliar, diferenciaremos a ecuación auxiliar para obter os elementos da fila de ceros. 

Se non hai cambio de signo na nova táboa de Routh formada usando a ecuación auxiliar, entón diremos que o sistema dado é estable limitadamente. En todas as outras condicións, diremos que o sistema dado é inestable.