Routh Hurwitz Stabiliteitscriterium

Definitie van het Routh Hurwitz Stabiliteitscriterium

Het is een methode om de stabiliteit van een systeem te bepalen met behulp van de karakteristieke vergelijking.

Hurwitz Criterium

Met behulp van de karakteristieke vergelijking kunnen we verschillende Hurwitz-determinanten maken om de stabiliteit van het systeem te bepalen. De karakteristieke vergelijking van het systeem wordt als volgt gedefinieerd:

Er zijn n determinanten voor een karakteristieke vergelijking van de orde n.

Hier is hoe je determinanten schrijft op basis van de coëfficiënten van de karakteristieke vergelijking. Volg deze stappen voor een karakteristieke vergelijking van de orde k:

Determinant één : De waarde van deze determinant wordt gegeven door |a1|, waarbij a1 de coëfficiënt is van sn-1 in de karakteristieke vergelijking.

Determinant twee : De waarde van deze determinant wordt gegeven door

Hier is het aantal elementen in elke rij gelijk aan het determinantnummer en we hebben hier het determinantnummer twee. De eerste rij bestaat uit de eerste twee oneven coëfficiënten en de tweede rij bestaat uit de eerste twee even coëfficiënten.

Determinant drie : De waarde van deze determinant wordt gegeven door

Hier is het aantal elementen in elke rij gelijk aan het determinantnummer en we hebben hier het determinantnummer drie. De eerste rij bestaat uit de eerste drie oneven coëfficiënten, de tweede rij bestaat uit de eerste drie even coëfficiënten en de derde rij bestaat uit het eerste element als nul en de resterende twee elementen als de eerste twee oneven coëfficiënten.

Determinant vier: De waarde van deze determinant wordt gegeven door,

Hier is het aantal elementen in elke rij gelijk aan het determinantnummer en we hebben hier het determinantnummer vier. De eerste rij bestaat uit de eerste vier coëfficiënten, de tweede rij bestaat uit de eerste vier even coëfficiënten, de derde rij bestaat uit het eerste element als nul en de resterende drie elementen als de eerste drie oneven coëfficiënten, en de vierde rij bestaat uit het eerste element als nul en de resterende drie elementen als de eerste drie even coëfficiënten.

Door dezelfde procedure te volgen, kunnen we de vorming van de determinant generaliseren. De algemene vorm van de determinant wordt hieronder gegeven:

Om de stabiliteit van het systeem te controleren, bereken je de waarde van elke determinant. Het systeem is stabiel als elke determinant positief is. Als er een determinant niet positief is, is het systeem niet stabiel.

Routh Stabiliteitscriterium

Dit criterium staat ook bekend als het gewijzigde Hurwitz Criterium voor de stabiliteit van het systeem. We zullen dit criterium in twee delen bestuderen. Deel één zal de noodzakelijke voorwaarde voor de stabiliteit van het systeem behandelen en deel twee zal de voldoende voorwaarde voor de stabiliteit van het systeem behandelen. Laten we opnieuw de karakteristieke vergelijking van het systeem overwegen als

1)     Deel één (noodzakelijke voorwaarde voor de stabiliteit van het systeem): Hierin hebben we twee voorwaarden die hieronder staan:

• Alle coëfficiënten van de karakteristieke vergelijking moeten positief en reëel zijn.

• Alle coëfficiënten van de karakteristieke vergelijking moeten ongelijk aan nul zijn.

2)     Deel twee (voldoende voorwaarde voor de stabiliteit van het systeem): Laten we eerst de Routh-array construeren. Om de Routh-array te construeren, volg je deze stappen:

De eerste rij zal bestaan uit alle even termen van de karakteristieke vergelijking. Schik ze vanaf de eerste (even term) tot de laatste (even term). De eerste rij is hieronder geschreven: a0 a2 a4 a6…………

De tweede rij zal bestaan uit alle oneven termen van de karakteristieke vergelijking. Schik ze vanaf de eerste (oneven term) tot de laatste (oneven term). De tweede rij is hieronder geschreven: a1 a3 a5 a7………..

De elementen van de derde rij kunnen worden berekend als:

Eerste element : Vermenigvuldig a0 met het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom (d.w.z. a3), trek dit af van het product van a1 en a2 (waarbij a2 het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom is) en deel vervolgens het verkregen resultaat door a1. Wiskundig schrijven we het eerste element als

Tweede element : Vermenigvuldig a0 met het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom (d.w.z. a5), trek dit af van het product van a1 en a4 (waarbij a4 het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom is) en deel vervolgens het verkregen resultaat door a1. Wiskundig schrijven we het tweede element als

Op soortgelijke wijze kunnen we alle elementen van de derde rij berekenen.

(d) De elementen van de vierde rij kunnen worden berekend met behulp van de volgende procedure:

Eerste element : Vermenigvuldig b1 met het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom (d.w.z. a3), trek dit af van het product van a1 en b2 (waarbij b2 het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom is) en deel vervolgens het verkregen resultaat door b1. Wiskundig schrijven we het eerste element als

 (2) Tweede element : Vermenigvuldig b1 met het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom (d.w.z. a5), trek dit af van het product van a1 en b3 (waarbij b3 het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom is) en deel vervolgens het verkregen resultaat door a1. Wiskundig schrijven we het tweede element als

Op soortgelijke wijze kunnen we alle elementen van de vierde rij berekenen.

Op soortgelijke wijze kunnen we alle elementen van alle rijen berekenen.

Stabiliteitscriteria: als alle elementen van de eerste kolom positief zijn, dan is het systeem stabiel. Echter, als een van hen negatief is, is het systeem instabiel.

Nu zijn er enkele speciale gevallen gerelateerd aan het Routh Stabiliteitscriterium die hieronder besproken worden:

Geval één: Als het eerste element in een willekeurige rij van de array nul is, terwijl de rest van de rij ten minste één niet-nul element heeft.In dit geval nemen we een zeer kleine waarde (ε) aan die naar nul neigt in plaats van nul. Door nul te vervangen door (ε) zullen we alle elementen van de Routh-array berekenen. 

Na het berekenen van alle elementen zullen we de limiet toepassen op elk element dat (ε) bevat. Bij het oplossen van de limiet bij elk element, als we een positieve limietwaarde krijgen, zeggen we dat het gegeven systeem stabiel is, anders, in alle andere gevallen, zeggen we dat het gegeven systeem niet stabiel is.

Geval twee : Wanneer alle elementen van een willekeurige rij van de Routh-array nul zijn. In dit geval kunnen we zeggen dat het systeem symptomen van marginale stabiliteit vertoont. Laten we eerst de fysieke betekenis begrijpen van het feit dat alle elementen van een rij nul zijn. 

De fysieke betekenis is dat er symmetrisch gelegen wortels van de karakteristieke vergelijking in het s-vlak zijn.Nu, om in dit geval de stabiliteit te bepalen, zullen we eerst de hulpvergelijking vinden. De hulpvergelijking kan worden gevormd door gebruik te maken van de elementen van de rij direct boven de rij nullen in de Routh-array. Na het vinden van de hulpvergelijking zullen we de hulpvergelijking differentiëren om de elementen van de rij nullen te verkrijgen. 

Als er geen tekenverandering is in de nieuwe Routh-array gevormd met behulp van de hulpvergelijking, zeggen we in dit geval dat het gegeven systeem beperkt stabiel is. In alle andere gevallen zeggen we dat het gegeven systeem instabiel is.