Routh Hurwitz Stabiliteitskriterium

Definisie van die Routh Hurwitz Stabiliteitskriterium

Dit is 'n metode om die stabiliteit van 'n stelsel te bepaal deur gebruik te maak van die karakteristieke vergelyking.

Hurwitz Kriterium

Deur gebruik te maak van die karakteristieke vergelyking, kan ons verskeie Hurwitz determinante skep om die stabiliteit van die stelsel te bepaal. Die karakteristieke vergelyking van die stelsel word as volg gedefinieer:

Daar is n determinante vir 'n n^de orde karakteristieke vergelyking.

Hier is hoe jy determinante skryf uit die koëffisiënte van die karakteristieke vergelyking. Volg hierdie stappe vir 'n k^de orde karakteristieke vergelyking:

Determinant een : Die waarde van hierdie determinant word gegee deur |a1| waar a1 die koëffisiënt van sn-1 in die karakteristieke vergelyking is.

Determinant twee : Die waarde van hierdie determinant word gegee deur

Hier is die aantal elemente in elke ry gelyk aan die determinant nommer en ons het die determinant nommer hier twee. Die eerste ry bestaan uit die eerste twee onewe koëffisiënte en die tweede ry bestaan uit die eerste twee ewe koëffisiënte.

Determinant drie : Die waarde van hierdie determinant word gegee deur

Hier is die aantal elemente in elke ry gelyk aan die determinant nommer en ons het die determinant nommer hier drie. Die eerste ry bestaan uit die eerste drie onewe koëffisiënte, die tweede ry bestaan uit die eerste drie ewe koëffisiënte en die derde ry bestaan uit die eerste element as nul en die res van twee elemente as die eerste twee onewe koëffisiënte.

Determinant vier: Die waarde van hierdie determinant word gegee deur,

Hier is die aantal elemente in elke ry gelyk aan die determinant nommer en ons het die determinant nommer hier vier. Die eerste ry bestaan uit die eerste vier koëffisiënte, die tweede ry bestaan uit die eerste vier ewe koëffisiënte, die derde ry bestaan uit die eerste element as nul en die res van drie elemente as die eerste drie onewe koëffisiënte, die vierde ry bestaan uit die eerste element as nul en die res van drie elemente as die eerste drie ewe koëffisiënte.

Deur dieselfde prosedure te volg, kan ons die vorming van die determinant veralgemeen. Die algemene vorm van die determinant word hieronder gegee:

Om die stabiliteit van die stelsel te kontroleer, bereken die waarde van elke determinant. Die stelsel is stabiel as elke determinant positief is. As enige determinant nie positief is nie, is die stelsel nie stabiel nie.

Routh Stabiliteitskriterium

Hierdie kriterium word ook bekend as die gewysigde Hurwitz Kriterium van stabiliteit van die stelsel. Ons sal hierdie kriterium in twee dele bestudeer. Deel een sal die nodige voorwaarde vir stabiliteit van die stelsel oorweeg en deel twee sal die voldoende voorwaarde vir die stabiliteit van die stelsel oorweeg. Laat ons weer die karakteristieke vergelyking van die stelsel oorweeg as

1)     Deel een (nodige voorwaarde vir stabiliteit van die stelsel): Hierin het ons twee voorwaardes wat hieronder geskryf word:

• Al die koëffisiënte van die karakteristieke vergelyking moet positief en werklik wees.

• Al die koëffisiënte van die karakteristieke vergelyking moet nie-nul wees.

2)     Deel twee (voldoende voorwaarde vir stabiliteit van die stelsel): Laat ons eers die Routh-array bou. Om die Routh-array te bou, volg hierdie stappe:

Die eerste ry sal bestaan uit al die ewe terme van die karakteristieke vergelyking. Rangskik hulle van die eerste (eweterm) tot die laaste (eweterm). Die eerste ry word hieronder geskryf: a0 a2 a4 a6…………

Die tweede ry sal bestaan uit al die onewe terme van die karakteristieke vergelyking. Rangskik hulle van die eerste (oneweterm) tot die laaste (oneweterm). Die eerste ry word hieronder geskryf: a1 a3 a5 a7………..

Die elemente van die derde ry kan soos volg bereken word:

Eerste element : Vermenigvuldig a0 met die diagonaal teenoorstaande element van die volgende kolom (d.w.s. a3), dan trek dit af van die produk van a1 en a2 (waar a2 die diagonaal teenoorstaande element van die volgende kolom is) en dan verdeel uiteindelik die resultaat wat verkry is, met a1. Wiskundig skryf ons die eerste element as

Tweede element : Vermenigvuldig a0 met die diagonaal teenoorstaande element van die volgende na volgende kolom (d.w.s. a5), dan trek dit af van die produk van a1 en a4 (waar a4 die diagonaal teenoorstaande element van die volgende na volgende kolom is) en dan verdeel uiteindelik die resultaat wat verkry is, met a1. Wiskundig skryf ons die tweede element as

Op dieselfde manier kan ons al die elemente van die derde ry bereken.

(d) Die elemente van die vierde ry kan soos volg bereken word:

Eerste element : Vermenigvuldig b1 met die diagonaal teenoorstaande element van die volgende kolom (d.w.s. a3), dan trek dit af van die produk van a1 en b2 (waar b2 die diagonaal teenoorstaande element van die volgende kolom is) en dan verdeel uiteindelik die resultaat wat verkry is, met b1. Wiskundig skryf ons die eerste element as

 (2) Tweede element : Vermenigvuldig b1 met die diagonaal teenoorstaande element van die volgende na volgende kolom (d.w.s. a5), dan trek dit af van die produk van a1 en b3 (waar b3 die diagonaal teenoorstaande element van die volgende na volgende kolom is) en dan verdeel uiteindelik die resultaat wat verkry is, met a1. Wiskundig skryf ons die tweede element as

Op dieselfde manier kan ons al die elemente van die vierde ry bereken.

Op dieselfde manier kan ons al die elemente van al die rye bereken.

Stabiliteitskriteria as al die elemente van die eerste kolom positief is, dan is die stelsel stabiel. Indien egter een van hulle negatief is, is die stelsel onstabiel.

Daar is nou sommige spesiale gevalle verband hou met die Routh Stabiliteitskriteria wat hieronder bespreek word:

Geval een: As die eerste term in enige ry van die array nul is terwyl die res van die ry ten minste een nie-nul term het. In hierdie geval sal ons 'n baie klein waarde (ε) aanneem wat na nul neig in plaas van nul. Deur nul te vervang met (ε) sal ons al die elemente van die Routh-array bereken. 

Na die berekening van al die elemente sal ons die limiet by elke element wat (ε) bevat, toepas. Deur die limiet op te los by elke element, as ons 'n positiewe limietwaarde kry, sal ons sê dat die gegewe stelsel stabiel is, andersins in alle ander toestande sal ons sê dat die gegewe stelsel nie stabiel is nie.

Geval twee : Wanneer al die elemente van enige ry van die Routh-array nul is. In hierdie geval kan ons sê dat die stelsel simptome van marginale stabiliteit het. Laat ons eers die fisiese betekenis van al die elemente nul van enige ry verstaan. 

Die fisiese betekenis is dat daar simmetries geleë wortels van die karakteristieke vergelyking in die s-vlak is.Nou om in hierdie geval die stabiliteit te vind, sal ons eers die hulpvergelyking vind. Die hulpvergelyking kan gevorm word deur gebruik te maak van die elemente van die ry net bo die ry van nulle in die Routh-array. Na die vind van die hulpvergelyking sal ons die hulpvergelyking differensieer om die elemente van die nulry te verkry. 

As daar geen tekensverandering is in die nuwe Routh-array gevorm deur gebruik te maak van die hulpvergelyking, dan sal ons in hierdie geval sê dat die gegewe stelsel beperkte stabiliteit het. In alle ander gevalle sal ons sê dat die gegewe stelsel onstabiel is.