مriterion استقرار روث هورويتز

تعريف معيار روث-هيرفيتز للثبات

إنها طريقة لتحديد ثبات النظام باستخدام المعادلة المميزة.

معيار هيرفيتز

باستخدام المعادلة المميزة، يمكننا إنشاء عدة محددات هيرفيتز لتحديد ثبات النظام. يتم تعريف المعادلة المميزة للنظام كما يلي:

هناك n محددًا لمعادلة مميزة من الرتبة n.

إليك كيفية كتابة المحددات من معاملات المعادلة المميزة. اتبع هذه الخطوات لمعادلة مميزة من الرتبة k:

المحدد الأول : قيمة هذا المحدد تُعطى بواسطة |a1| حيث a1 هو معامل sn-1 في المعادلة المميزة.

المحدد الثاني : قيمة هذا المحدد تُعطى بواسطة

هنا عدد العناصر في كل صف يساوي رقم المحدد ولدينا هنا رقم المحدد هو اثنان. يتكون الصف الأول من أول معامليين فرديين والصف الثاني يتكون من أول معامليين زوجيين.

المحدد الثالث : قيمة هذا المحدد تُعطى بواسطة

هنا عدد العناصر في كل صف يساوي رقم المحدد ولدينا هنا رقم المحدد هو ثلاثة. يتكون الصف الأول من أول ثلاثة معامليين فرديين، والصف الثاني يتكون من أول ثلاثة معامليين زوجيين، والصف الثالث يتكون من العنصر الأول كصفر والباقي من العنصرين الأولين الفرديين.

المحدد الرابع: قيمة هذا المحدد تُعطى بواسطة،

هنا عدد العناصر في كل صف يساوي رقم المحدد ولدينا هنا رقم المحدد هو أربعة. يتكون الصف الأول من أول أربعة معاملات، والصف الثاني يتكون من أول أربعة معامليين زوجيين، والصف الثالث يتكون من العنصر الأول كصفر والباقي من الثلاثة الأولى الفردية، والصف الرابع يتكون من العنصر الأول كصفر والباقي من الثلاثة الأولى الزوجية.

من خلال اتباع نفس الإجراء يمكننا تعميم تكوين المحدد. الشكل العام للمحدد هو كالتالي:

للحصول على ثبات النظام، قم بحساب قيمة كل محدد. يكون النظام مستقرًا إذا كانت كل المحددات موجبة. إذا لم يكن أي محدد موجبًا، فإن النظام غير مستقر.

معيار روث للثبات

يُعرف هذا المعيار أيضًا باسم معيار هيرفيتز المعدل للثبات. سندرس هذا المعيار في جزأين. سيغطي الجزء الأول الشرط اللازم للثبات، وسيغطي الجزء الثاني الشرط الكافي للثبات. دعنا نعتبر مرة أخرى المعادلة المميزة للنظام كما يلي

1)     الجزء الأول (الشرط اللازم للثبات): لدينا هنا شرطين وهما كالتالي:

• يجب أن تكون جميع معاملات المعادلة المميزة موجبة وحقيقية.

• يجب أن تكون جميع معاملات المعادلة المميزة غير صفرية.

2)     الجزء الثاني (الشرط الكافي للثبات): دعنا ننشئ أولاً مصفوفة روث. لتكون مصفوفة روث اتبع هذه الخطوات:

سيحتوي الصف الأول على جميع المصطلحات الزوجية للمعادلة المميزة. قم بترتيبها من أول (مصطلح زوجي) إلى آخر (مصطلح زوجي). يكتب الصف الأول أدناه: a0 a2 a4 a6…………

سيحتوي الصف الثاني على جميع المصطلحات الفردية للمعادلة المميزة. قم بترتيبها من أول (مصطلح فردي) إلى آخر (مصطلح فردي). يكتب الصف الأول أدناه: a1 a3 a5 a7………..

يمكن حساب عناصر الصف الثالث كما يلي:

العنصر الأول : اضرب a0 بالعنصر المقابل قطرًا في العمود التالي (أي a3) ثم اطرح هذا من ناتج ضرب a1 و a2 (حيث a2 هو العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي) وأخيرًا قسم النتيجة المحصلة على a1. رياضيًا نكتب العنصر الأول

العنصر الثاني : اضرب a0 بالعنصر المقابل قطرًا في العمود التالي للعمود التالي (أي a5) ثم اطرح هذا من ناتج ضرب a1 و a4 (حيث a4 هو العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي للعمود التالي) وأخيرًا قسم النتيجة المحصلة على a1. رياضيًا نكتب العنصر الثاني

وبالمثل، يمكننا حساب جميع عناصر الصف الثالث.

(د) يمكن حساب عناصر الصف الرابع باستخدام الإجراء التالي:

العنصر الأول : اضرب b1 بالعنصر المقابل قطرًا في العمود التالي (أي a3) ثم اطرح هذا من ناتج ضرب a1 و b2 (حيث b2 هو العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي) وأخيرًا قسم النتيجة المحصلة على b1. رياضيًا نكتب العنصر الأول

 (2) العنصر الثاني : اضرب b1 بالعنصر المقابل قطرًا في العمود التالي للعمود التالي (أي a5) ثم اطرح هذا من ناتج ضرب a1 و b3 (حيث b3 هو العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي للعمود التالي) وأخيرًا قسم النتيجة المحصلة على a1. رياضيًا نكتب العنصر الثاني

وبالمثل، يمكننا حساب جميع عناصر الصف الرابع.

وبالمثل، يمكننا حساب جميع عناصر جميع الصفوف.

معايير الثبات إذا كانت جميع عناصر العمود الأول موجبة، فإن النظام سيكون مستقرًا. ومع ذلك، إذا كان أي منها سالبًا، فإن النظام سيكون غير مستقر.

الآن هناك بعض الحالات الخاصة المتعلقة بمعايير ثبات روث والتي تمت مناقشتها أدناه:

الحالة الأولى: إذا كان المصطلح الأول في أي صف من الصفوف صفراً بينما باقي الصف يحتوي على مصطلح واحد على الأقل غير صفر.في هذه الحالة سنفترض قيمة صغيرة جداً (ε) التي تتجه نحو الصفر مكان الصفر. بتعويض الصفر بـ (ε) سنحسب جميع عناصر مصفوفة روث. 

بعد حساب جميع العناصر سنطبق النهاية على كل عنصر يحتوي على (ε). عند حل النهاية لكل عنصر، إذا حصلنا على قيمة نهاية موجبة، فسنقول إن النظام المعطى مستقر، وإلا في جميع الحالات الأخرى سنقول إن النظام المعطى غير مستقر.

الحالة الثانية : عندما تكون جميع عناصر أي صف في مصفوفة روث صفرية. في هذه الحالة يمكننا القول إن النظام يظهر أعراض الاستقرار الهامشي. دعنا نفهم أولاً المعنى الفيزيائي لوجود جميع العناصر صفرية لأي صف. 

المعنى الفيزيائي هو أن هناك جذورًا متماثلة للمعادلة المميزة في مستوى s.الآن لتحديد الاستقرار في هذه الحالة سنجد أولاً المعادلة المساعدة. يمكن تشكيل المعادلة المساعدة باستخدام عناصر الصف الذي يقع مباشرة فوق صف الأصفار في مصفوفة روث. بعد إيجاد المعادلة المساعدة سنقوم بتفاضلها للحصول على عناصر صف الأصفار. 

إذا لم يكن هناك تغيير في الإشارة في المصفوفة الجديدة لروث التي تم تشكيلها باستخدام المعادلة المساعدة، فسنقول إن النظام المعطى مستقر بشكل محدود. وفي جميع الحالات الأخرى سنقول إن النظام المعطى غير مستقر.