Routh Hurwitzi stabiilsuskriteerium

Routh Hurwitzi Stabiilsuskriteeriumi Definitsioon

See on meetod süsteemi stabiilsuse määramiseks karakteristikvõrrandi abil.

Hurwitzi Kriteerium

Karakteristikvõrrandi abil saame luua mitmeid Hurwitzi determinantide, et määrata süsteemi stabiilsust. Süsteemi karakteristikvõrrand on järgmine:

n-nda järku karakteristikvõrrandi jaoks on n determinantit.

Siin on kuidas kirjutada determinantid karakteristikvõrrandi kordajate abil. Järgige neid samme k-nda järku karakteristikvõrrandi jaoks:

Determinant üks : Selle determinandi väärtus on |a1|, kus a1 on sn-1 kordaja karakteristikvõrrandis.

Determinant kaks : Selle determinandi väärtus on antud

Siin igas reas elementide arv võrdub determinantide arvuga ja meil on siin determinantide arv kaks. Esimene rida koosneb esimestest kahest paaritu kordajast ja teine rida esimestest kahest paaris kordajast.

Determinant kolm : Selle determinandi väärtus on antud

Siin igas reas elementide arv võrdub determinantide arvuga ja meil on siin determinantide arv kolm. Esimene rida koosneb esimestest kolmest paaritu kordajast, teine rida esimestest kolmest paaris kordajast ja kolmas rida sisaldab esimest elementi nullina ja muutuvad kaks elementi esimeste kahe paaritu kordajana.

Determinant neli: Selle determinandi väärtus on antud,

Siin igas reas elementide arv võrdub determinantide arvuga ja meil on siin determinantide arv neli. Esimene rida koosneb esimestest neljast kordajast, teine rida esimestest neljast paaris kordajast, kolmas rida sisaldab esimest elementi nullina ja muutuvad kolm elementi esimeste kolme paaritu kordajana, neljas rida sisaldab esimest elementi nullina ja muutuvad kolm elementi esimeste kolme paaris kordajana.

Järgides sama protseduuri saame üldistada determinantide moodustamise. Determinantide üldine vorm on järgmine:

Süsteemi stabiilsuse kontrollimiseks arvutage iga determinantide väärtus. Süsteem on stabiilne, kui iga determinant on positiivne. Kui mingi determinant ei ole positiivne, siis süsteem ei ole stabiilne.

Routhi Stabiilsuskriteerium

See kriteerium on tuntud ka kui muudetud Hurwitzi kriteerium süsteemi stabiilsuse määramiseks. Me uurime seda kriteeriumi kahte osas. Esimene osa käsitleb vajalikke tingimusi süsteemi stabiilsuse jaoks ning teine osa piisavaid tingimusi süsteemi stabiilsuse jaoks. Vaatame uuesti süsteemi karakteristikvõrrandit

1)     Osapool (süsteemi stabiilsuse vajalik tingimus): Selles on meil kaks tingimust, mis on allpool kirjeldatud:

• Kõik karakteristikvõrrandi kordajad peaksid olema positiivsed ja reaalsed.

• Kõik karakteristikvõrrandi kordajad peaksid olema nullist erinevad.

2)     Osapool (süsteemi stabiilsuse piisav tingimus): Ehitame esmalt Routhi tabeli. Routhi tabeli ehitamiseks järgige järgmisi samme:

Esimene rida koosneb kõigist paaris kordajatest karakteristikvõrrandist. Paigutage need esimesest (paaris) viimase (paaris) kuni. Esimene rida on järgmine: a0 a2 a4 a6…………

Teine rida koosneb kõigist paaritu kordajatest karakteristikvõrrandist. Paigutage need esimesest (paaritu) viimase (paaritu) kuni. Teine rida on järgmine: a1 a3 a5 a7………..

Kolmanda rea elemendid saavad arvutatud järgmiselt:

Esimene element : Korrutage a0 diagonaalselt vastaspoolel oleva veeru elemendiga (st a3), lahutage selle a1 ja a2 (kus a2 on diagonaalselt vastaspoolel olev veeru element) korrutisest ja lõpuks jagage saadud tulemust a1-ga. Matemaatiliselt kirjutame esimese elemendi

Teine element : Korrutage a0 diagonaalselt vastaspoolel oleva veeru elemendiga (st a5), lahutage selle a1 ja a4 (kus a4 on diagonaalselt vastaspoolel olev veeru element) korrutisest ja lõpuks jagage saadud tulemust a1-ga. Matemaatiliselt kirjutame teise elemendi

Samuti saame arvutada kõik kolmanda rea elemendid.

(d) Neljanda rea elemendid saavad arvutatud järgmiselt:

Esimene element : Korrutage b1 diagonaalselt vastaspoolel oleva veeru elemendiga (st a3), lahutage selle a1 ja b2 (kus b2 on diagonaalselt vastaspoolel olev veeru element) korrutisest ja lõpuks jagage saadud tulemust b1-ga. Matemaatiliselt kirjutame esimese elemendi

 (2) Teine element : Korrutage b1 diagonaalselt vastaspoolel oleva veeru elemendiga (st a5), lahutage selle a1 ja b3 (kus b3 on diagonaalselt vastaspoolel olev veeru element) korrutisest ja lõpuks jagage saadud tulemust a1-ga. Matemaatiliselt kirjutame teise elemendi

Samuti saame arvutada kõik neljanda rea elemendid.

Samuti saame arvutada kõigi ridade elemendid.

Stabiilsuse kriteerium: kui esimese veeru kõik elemendid on positiivsed, siis süsteem on stabiilne. Kui mingi element on negatiivne, siis süsteem ei ole stabiilne.

Nüüd on mõned spetsiaalsed juhud seoses Routhi stabiilsuskriteeriumiga, mida allpool arutatakse:

Juhtum üks: Kui mingi rea esimene element on null, kuid reas on vähemalt üks nullist erinev element. Sellisel juhul eeldame väga väikest väärtust (ε), mis läheneb nullile nulli asemel. Nulli asendades (ε)-ga arvutame kõik Routhi tabeli elemendid. 

Kõigi elementide arvutamise järel rakendame limiidi iga (ε) sisaldava elemendi puhul. Kui iga elemendi limiidi lahendamisel saame positiivse limiidi, siis öelda, et antud süsteem on stabiilne, vastasel juhul öelda, et antud süsteem ei ole stabiilne.

Juhtum kaks : Kui Routhi tabeli mingi rea kõik elemendid on nullid. Sellisel juhul võime öelda, et süsteemil on marginaalse stabiilsuse märgid. Mõistagem esmalt füüsiline tähendus, kui mingi rea kõik elemendid on nullid. 

Füüsiline tähendus on, et s-tasandil on sümmeetriliselt asetatud karakteristikvõrrandi juured. Nüüd, et määrata stabiilsus sellisel juhul, leiame esmalt ajuvõrrandi. Ajuvõrrandit saab moodustada Routhi tabeli nullide rea eelse rea elementide abil. Ajuvõrrandi leidmise järel diferentimeerime ajuvõrrandi, et saada nullide rea elemendid. 

Kui uues Routhi tabelis, mis on moodustatud ajuvõrrandi abil, pole mingeid märgimuutusi, siis öelda, et antud süsteem on piiratult stabiilne. Kõikides muudes juhtudetes öelda, et antud süsteem ei ole stabiilne.