Routh Hurwitz 안정성 기준

Routh Hurwitz 안정성 기준 정의

이것은 특성 방정식을 사용하여 시스템의 안정성을 결정하는 방법입니다.

Hurwitz 기준

특성 방정식을 사용하여 여러 개의 Hurwitz 행렬식을 생성하여 시스템의 안정성을 결정할 수 있습니다. 시스템의 특성 방정식은 다음과 같이 정의됩니다:

n차 특성 방정식에 대해 n개의 행렬식이 있습니다.

다음은 특성 방정식의 계수로부터 행렬식을 작성하는 방법입니다. k차 특성 방정식에 대해 다음 단계를 따르십시오:

행렬식 하나 : 이 행렬식의 값은 |a1|로 주어지며, 여기서 a1은 특성 방정식에서 sn-1의 계수입니다.

행렬식 둘 : 이 행렬식의 값은 다음과 같습니다:

여기서 각 행의 요소 수는 행렬식 번호와 같으며, 여기서 행렬식 번호는 두 가지입니다. 첫 번째 행은 첫 번째 두 홀수 계수로 구성되고, 두 번째 행은 첫 번째 두 짝수 계수로 구성됩니다.

행렬식 셋 : 이 행렬식의 값은 다음과 같습니다:

여기서 각 행의 요소 수는 행렬식 번호와 같으며, 여기서 행렬식 번호는 세 가지입니다. 첫 번째 행은 첫 번째 세 홀수 계수로 구성되고, 두 번째 행은 첫 번째 세 짝수 계수로 구성되며, 세 번째 행은 첫 번째 요소가 0이고 나머지 두 요소가 첫 번째 두 홀수 계수로 구성됩니다.

행렬식 넷: 이 행렬식의 값은 다음과 같습니다:

여기서 각 행의 요소 수는 행렬식 번호와 같으며, 여기서 행렬식 번호는 네 가지입니다. 첫 번째 행은 첫 번째 네 계수로 구성되고, 두 번째 행은 첫 번째 네 짝수 계수로 구성되며, 세 번째 행은 첫 번째 요소가 0이고 나머지 세 요소가 첫 번째 세 홀수 계수로 구성되며, 네 번째 행은 첫 번째 요소가 0이고 나머지 세 요소가 첫 번째 세 짝수 계수로 구성됩니다.

동일한 절차를 따르면 행렬식 형성을 일반화할 수 있습니다. 일반적인 행렬식 형태는 아래와 같습니다:

시스템의 안정성을 확인하려면 각 행렬식의 값을 계산합니다. 각 행렬식이 양수이면 시스템은 안정적입니다. 어떤 행렬식이라도 양수가 아니면 시스템은 안정적이지 않습니다.

Routh 안정성 기준

이 기준은 또한 수정된 Hurwitz 안정성 기준으로 알려져 있습니다. 우리는 이 기준을 두 부분으로 연구할 것입니다. 첫 번째 부분은 시스템의 안정성을 위한 필수 조건을 다루고, 두 번째 부분은 시스템의 안정성을 위한 충분 조건을 다룹니다. 다시 한번 시스템의 특성 방정식을 고려해 보겠습니다:

1)     첫 번째 부분 (시스템의 안정성을 위한 필수 조건): 여기에는 아래에 기술된 두 가지 조건이 있습니다:

• 특성 방정식의 모든 계수는 양수이고 실수여야 합니다.

• 특성 방정식의 모든 계수는 0이 아니어야 합니다.

2)     두 번째 부분 (시스템의 안정성을 위한 충분 조건): 먼저 Routh 배열을 구성합시다. Routh 배열을 구성하려면 다음 단계를 따르십시오:

첫 번째 행은 특성 방정식의 모든 짝수 항으로 구성됩니다. 이를 첫 번째 (짝수 항)부터 마지막 (짝수 항)까지 배열합니다. 첫 번째 행은 다음과 같습니다: a0 a2 a4 a6………

두 번째 행은 특성 방정식의 모든 홀수 항으로 구성됩니다. 이를 첫 번째 (홀수 항)부터 마지막 (홀수 항)까지 배열합니다. 첫 번째 행은 다음과 같습니다: a1 a3 a5 a7………..

세 번째 행의 요소는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

첫 번째 요소 : a0을 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소 (즉, a3)와 곱한 후, 이를 a1과 a2 (여기서 a2는 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소)의 곱셈 결과에서 뺀 후, 마지막으로 a1로 나누어 얻은 결과를 수학적으로 첫 번째 요소로 표기합니다.

두 번째 요소 : a0을 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소 (즉, a5)와 곱한 후, 이를 a1과 a4 (여기서 a4는 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소)의 곱셈 결과에서 뺀 후, 마지막으로 a1로 나누어 얻은 결과를 수학적으로 두 번째 요소로 표기합니다.

마찬가지로, 세 번째 행의 모든 요소를 계산할 수 있습니다.

(d) 네 번째 행의 요소는 다음과 같은 절차를 통해 계산할 수 있습니다:

첫 번째 요소 : b1을 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소 (즉, a3)와 곱한 후, 이를 a1과 b2 (여기서 b2는 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소)의 곱셈 결과에서 뺀 후, 마지막으로 b1로 나누어 얻은 결과를 수학적으로 첫 번째 요소로 표기합니다.

 (2) 두 번째 요소 : b1을 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소 (즉, a5)와 곱한 후, 이를 a1과 b3 (여기서 b3는 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소)의 곱셈 결과에서 뺀 후, 마지막으로 a1로 나누어 얻은 결과를 수학적으로 두 번째 요소로 표기합니다.

마찬가지로, 네 번째 행의 모든 요소를 계산할 수 있습니다.

마찬가지로, 모든 행의 모든 요소를 계산할 수 있습니다.

안정성 기준: 첫 번째 열의 모든 요소가 양수이면 시스템은 안정적입니다. 그러나 그 중 하나라도 음수이면 시스템은 불안정합니다.

이제 Routh 안정성 기준과 관련된 몇 가지 특수한 경우에 대해 논의하겠습니다:

사례 하나: 배열의 어느 행의 첫 번째 항이 0이며, 나머지 행에는 적어도 하나의 0이 아닌 항이 있는 경우.이 경우 우리는 0 대신 매우 작은 값 (ε)을 가정합니다. 0을 (ε)로 대체하여 Routh 배열의 모든 요소를 계산합니다. 

모든 요소를 계산한 후, (ε)을 포함하는 각 요소에 대한 극한을 적용합니다. 각 요소의 극한을 해결하면 양수 극한 값을 얻으면 주어진 시스템은 안정적이라고 말하고, 그렇지 않으면 주어진 시스템은 안정적이지 않다고 말합니다.

사례 둘 : Routh 배열의 어느 행의 모든 요소가 0인 경우. 이 경우 우리는 시스템이 경계 안정성의 증상을 가지고 있다고 말할 수 있습니다. 먼저 0인 행의 모든 요소가 있는 물리적 의미를 이해해 보겠습니다. 

물리적 의미는 s 평면에서 특성 방정식의 대칭적으로 위치한 근이 있다는 것입니다.이 경우의 안정성을 찾기 위해 먼저 보조 방정식을 찾아야 합니다. 보조 방정식은 Routh 배열에서 0인 행 바로 위의 행의 요소를 사용하여 구성할 수 있습니다. 보조 방정식을 찾은 후, 이를 미분하여 0인 행의 요소를 얻습니다. 

보조 방정식을 사용하여 형성된 새로운 Routh 배열에서 부호 변경이 없다면, 이 경우 주어진 시스템은 제한적으로 안정적이라고 말합니다. 그 외의 모든 경우에는 주어진 시스템은 불안정하다고 말합니다.