Критерий на стабилността на Раут-Хурвиц

Критерий устойчивости Рут-Хурвиц

Това е метод за определяне на устойчивостта на система, използвайки характеристичното уравнение.

Критерий на Хурвиц

Използвайки характеристичното уравнение, можем да създадем няколко детерминанти на Хурвиц, за да определим устойчивостта на системата. Характеристичното уравнение на системата е дефинирано по следния начин:

Има n детерминанти за характеристично уравнение от n-ти ред.

Ето как да запишете детерминантите от коефициентите на характеристичното уравнение. Следвайте тези стъпки за характеристично уравнение от k-ти ред:

Детерминанта първа : Стойността на тази детерминанта е дадена от |a1|, където a1 е коефициентът на sn-1 в характеристичното уравнение.

Детерминанта втора : Стойността на тази детерминанта е дадена от

Броят на елементите във всеки ред е равен на номера на детерминантата и тук имаме детерминанта номер две. Първият ред съдържа първите две нечетни коефициента, а вторият ред съдържа първите две четни коефициента.

Детерминанта трета : Стойността на тази детерминанта е дадена от

Броят на елементите във всеки ред е равен на номера на детерминантата и тук имаме детерминанта номер три. Първият ред съдържа първите три нечетни коефициента, вторият ред съдържа първите три четни коефициента, а третият ред съдържа първия елемент като нула, а останалите два елемента са първите два нечетни коефициента.

Детерминанта четвърта: Стойността на тази детерминанта е дадена от,

Броят на елементите във всеки ред е равен на номера на детерминантата и тук имаме детерминанта номер четири. Първият ред съдържа първите четири коефициента, вторият ред съдържа първите четири четни коефициента, третият ред съдържа първия елемент като нула, а останалите три елемента са първите три нечетни коефициента, четвъртият ред съдържа първия елемент като нула, а останалите три елемента са първите три четни коефициента.

Следвайки същата процедура, можем да обобщим формирането на детерминантите. Общата форма на детерминантата е дадена по-долу:

За проверка на устойчивостта на системата, изчислете стойността на всяка детерминанта. Системата е устойчива, ако всяка детерминанта е положителна. Ако някоя детерминанта не е положителна, системата не е устойчива.

Критерий на Рут за устойчивост

Този критерий е известен също като модифициран критерий на Хурвиц за устойчивостта на системата. Ще изучим този критерий в две части. Първата част ще покрие необходимото условие за устойчивостта на системата, а втората част ще покрие достатъчното условие за устойчивостта на системата. Нека отново разгледаме характеристичното уравнение на системата като

1)     Първа част (необходимо условие за устойчивостта на системата): В тази част имаме две условия, които са записани по-долу:

• Всички коефициенти на характеристичното уравнение трябва да са положителни и реални.

• Всички коефициенти на характеристичното уравнение трябва да са различни от нула.

2)     Втора част (достатъчно условие за устойчивостта на системата): Нека първо построим таблицата на Рут. За да построим таблицата на Рут, следвайте тези стъпки:

Първият ред ще съдържа всички четни членове на характеристичното уравнение. Подредете ги от първия (четен член) до последния (четен член). Първият ред е записан по-долу: a0 a2 a4 a6…………

Вторият ред ще съдържа всички нечетни членове на характеристичното уравнение. Подредете ги от първия (нечетен член) до последния (нечетен член). Вторият ред е записан по-долу: a1 a3 a5 a7………..

Елементите на третия ред могат да бъдат изчислени по следния начин:

Първи елемент : Умножете a0 с диагонално противоположния елемент на следващата колона (т.е. a3), после извадете това от произведението на a1 и a2 (където a2 е диагонално противоположния елемент на следващата колона) и накрая разделете резултата, получен, с a1. Математически пишем първия елемент

Втори елемент : Умножете a0 с диагонално противоположния елемент на следващата след следващата колона (т.е. a5), после извадете това от произведението на a1 и a4 (където a4 е диагонално противоположния елемент на следващата след следващата колона) и накрая разделете резултата, получен, с a1. Математически пишем втория елемент

По същия начин можем да изчислим всички елементи на третия ред.

(d) Елементите на четвъртия ред могат да бъдат изчислени, използвайки следния процес:

Първи елемент : Умножете b1 с диагонално противоположния елемент на следващата колона (т.е. a3), после извадете това от произведението на a1 и b2 (където b2 е диагонално противоположния елемент на следващата колона) и накрая разделете резултата, получен, с b1. Математически пишем първия елемент

 (2) Втори елемент : Умножете b1 с диагонално противоположния елемент на следващата след следващата колона (т.е. a5), после извадете това от произведението на a1 и b3 (където b3 е диагонално противоположния елемент на следващата след следващата колона) и накрая разделете резултата, получен, с a1. Математически пишем втория елемент

По същия начин можем да изчислим всички елементи на четвъртия ред.

По същия начин можем да изчислим всички елементи на всички редове.

Критерии за устойчивост, ако всички елементи на първата колона са положителни, то системата ще бъде устойчива. Ако обаче някой от тях е отрицателен, системата ще бъде неустойчива.

Сега има някои специални случаи, свързани с критерия на Рут за устойчивост, които са обсъдени по-долу:

Случай първи: Ако първият член във всеки ред на таблицата е нула, докато останалата част на реда има поне един ненулев член. В този случай ще приемем много малка стойност (ε), която клони към нула, вместо нула. Заменяйки нулата с (ε), ще изчислим всички елементи на таблицата на Рут. 

След изчисляването на всички елементи, ще приложим границата на всеки елемент, съдържащ (ε). При решаване на границата на всеки елемент, ако получим положителна гранична стойност, ще кажем, че дадената система е устойчива, в противен случай ще кажем, че дадената система не е устойчива.

Случай втори : Когато всички елементи на всеки ред на таблицата на Рут са нули. В този случай можем да кажем, че системата има симптоми на гранична устойчивост. Нека първо разберем физическото значение на имането на всички нулеви елементи във всеки ред. 

Физическото значение е, че има симетрично разположени корени на характеристичното уравнение в s-плана. Сега, за да намерим устойчивостта в този случай, първо ще намерим допълнителното уравнение. Допълнителното уравнение може да бъде съставено, използвайки елементите на реда, непосредствено над реда от нули в таблицата на Рут. След намеряването на допълнителното уравнение, ще диференцираме допълнителното уравнение, за да получим елементите на реда от нули. 

Ако няма промяна на знака в новата таблица на Рут, съставена, използвайки допълнителното уравнение, в този случай ще кажем, че дадената система е ограничено устойчива. Във всички останали случаи ще кажем, че дадената система е неустойчива.