Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz

Definisi Kriteria Stabiliti Routh Hurwitz

Ia adalah kaedah untuk menentukan kestabilan sistem menggunakan persamaan ciri.

Kriteria Hurwitz

Menggunakan persamaan ciri, kita boleh mewujudkan beberapa penentu Hurwitz untuk menentukan kestabilan sistem. Persamaan ciri sistem ditakrifkan seperti berikut:

Terdapat n penentu untuk persamaan ciri peringkat n^th.

Berikut adalah cara menulis penentu dari pekali persamaan ciri. Ikuti langkah-langkah ini untuk persamaan ciri peringkat k:

Penentu satu : Nilai penentu ini diberikan oleh |a1| di mana a1 adalah pekali sn-1 dalam persamaan ciri.

Penentu dua : Nilai penentu ini diberikan oleh

Di sini, bilangan unsur dalam setiap baris adalah sama dengan nombor penentu dan kami mempunyai nombor penentu di sini adalah dua. Baris pertama terdiri daripada dua pekali ganjil pertama dan baris kedua terdiri daripada dua pekali genap pertama.

Penentu tiga : Nilai penentu ini diberikan oleh

Di sini, bilangan unsur dalam setiap baris adalah sama dengan nombor penentu dan kami mempunyai nombor penentu di sini adalah tiga. Baris pertama terdiri daripada tiga pekali ganjil pertama, baris kedua terdiri daripada tiga pekali genap pertama dan baris ketiga terdiri daripada unsur pertama sebagai sifar dan dua unsur selebihnya sebagai dua pekali ganjil pertama.

Penentu empat: Nilai penentu ini diberikan oleh,

Di sini, bilangan unsur dalam setiap baris adalah sama dengan nombor penentu dan kami mempunyai nombor penentu di sini adalah empat. Baris pertama terdiri daripada empat pekali pertama, baris kedua terdiri daripada empat pekali genap pertama, baris ketiga terdiri daripada unsur pertama sebagai sifar dan tiga unsur selebihnya sebagai tiga pekali ganjil pertama, baris keempat terdiri daripada unsur pertama sebagai sifar dan tiga unsur selebihnya sebagai tiga pekali genap pertama.

Dengan mengikuti prosedur yang sama, kita boleh menggeneralisasikan pembentukan penentu. Bentuk umum penentu diberikan di bawah:

Untuk memeriksa kestabilan sistem, kira nilai setiap penentu. Sistem itu stabil jika setiap penentu positif. Jika sebarang penentu tidak positif, sistem itu tidak stabil.

Kriteria Stabiliti Routh

Kriteria ini juga dikenali sebagai Kriteria Hurwitz Modifikasi untuk kestabilan sistem. Kami akan mempelajari kriteria ini dalam dua bahagian. Bahagian pertama akan merangkumi syarat perlu untuk kestabilan sistem dan bahagian kedua akan merangkumi syarat cukup untuk kestabilan sistem. Mari kita pertimbangkan semula persamaan ciri sistem sebagai

1)     Bahagian pertama (syarat perlu untuk kestabilan sistem): Di sini kita mempunyai dua syarat yang ditulis di bawah:

• Semua pekali persamaan ciri harus positif dan nyata.

• Semua pekali persamaan ciri harus bukan sifar.

2)     Bahagian kedua (syarat cukup untuk kestabilan sistem): Mari kita pertama-tama membina array Routh. Untuk membina array Routh, ikuti langkah-langkah berikut:

Baris pertama akan terdiri daripada semua istilah genap persamaan ciri. Susun mereka dari yang pertama (istilah genap) hingga yang terakhir (istilah genap). Baris pertama ditulis di bawah: a0 a2 a4 a6…………

Baris kedua akan terdiri daripada semua istilah ganjil persamaan ciri. Susun mereka dari yang pertama (istilah ganjil) hingga yang terakhir (istilah ganjil). Baris kedua ditulis di bawah: a1 a3 a5 a7………..

Unsur-unsur baris ketiga boleh dikira sebagai:

Unsur pertama : Darabkan a0 dengan elemen bertentangan secara pepenjuru pada lajur seterusnya (i.e. a3) kemudian tolak hasil ini daripada hasil darab a1 dan a2 (di mana a2 adalah elemen bertentangan secara pepenjuru pada lajur seterusnya) dan akhirnya bahagikan hasil yang diperoleh dengan a1. Secara matematik, kita tulis sebagai unsur pertama

Unsur kedua : Darabkan a0 dengan elemen bertentangan secara pepenjuru pada lajur seterusnya (i.e. a5) kemudian tolak hasil ini daripada hasil darab a1 dan a4 (di mana, a4 adalah elemen bertentangan secara pepenjuru pada lajur seterusnya) dan akhirnya bahagikan hasil yang diperoleh dengan a1. Secara matematik, kita tulis sebagai unsur kedua

Secara serupa, kita boleh mengira semua unsur baris ketiga.

(d) Unsur-unsur baris keempat boleh dikira dengan menggunakan prosedur berikut:

Unsur pertama : Darabkan b1 dengan elemen bertentangan secara pepenjuru pada lajur seterusnya (i.e. a3) kemudian tolak hasil ini daripada hasil darab a1 dan b2 (di mana, b2 adalah elemen bertentangan secara pepenjuru pada lajur seterusnya) dan akhirnya bahagikan hasil yang diperoleh dengan b1. Secara matematik, kita tulis sebagai unsur pertama

 (2) Unsur kedua : Darabkan b1 dengan elemen bertentangan secara pepenjuru pada lajur seterusnya (i.e. a5) kemudian tolak hasil ini daripada hasil darab a1 dan b3 (di mana, b3 adalah elemen bertentangan secara pepenjuru pada lajur seterusnya) dan akhirnya bahagikan hasil yang diperoleh dengan a1. Secara matematik, kita tulis sebagai unsur kedua

Secara serupa, kita boleh mengira semua unsur baris keempat.

Secara serupa, kita boleh mengira semua unsur semua baris.

Kriteria kestabilan jika semua unsur dalam lajur pertama positif, maka sistem akan stabil. Namun, jika salah satunya negatif, sistem akan tidak stabil.

Sekarang terdapat beberapa kes khas berkaitan dengan Kriteria Stabiliti Routh yang dibincangkan di bawah:

Kes pertama: Jika istilah pertama dalam mana-mana baris array adalah sifar sementara baki baris mempunyai sekurang-kurangnya satu istilah bukan sifar.Dalam kes ini, kita akan mengandaikan nilai yang sangat kecil (ε) yang cenderung kepada sifar sebagai gantian sifar. Dengan menggantikan sifar dengan (ε), kita akan mengira semua unsur dalam array Routh. 

Setelah mengira semua unsur, kita akan melaksanakan had pada setiap unsur yang mengandungi (ε). Dengan menyelesaikan had pada setiap unsur, jika kita mendapatkan nilai had positif, maka kita akan katakan sistem yang diberikan adalah stabil, sebaliknya, dalam semua keadaan lain, kita akan katakan sistem yang diberikan adalah tidak stabil.

Kes kedua : Apabila semua unsur dalam mana-mana baris array Routh adalah sifar. Dalam kes ini, kita boleh katakan sistem tersebut mempunyai gejala kestabilan marginal. Mari kita fahami dahulu makna fizikal memiliki semua unsur sifar dalam mana-mana baris. 

Makna fizikalnya adalah terdapat akar-akar yang simetri terletak dalam persamaan ciri pada satah s.Sekarang, untuk mengetahui kestabilan dalam kes ini, kita akan mencari persamaan tambahan. Persamaan tambahan boleh dibentuk dengan menggunakan unsur-unsur baris tepat di atas baris sifar dalam array Routh. Setelah mendapatkan persamaan tambahan, kita akan membezakan persamaan tambahan untuk mendapatkan unsur-unsur baris sifar. 

Jika tiada perubahan tanda dalam array Routh baru yang dibentuk dengan menggunakan persamaan tambahan, maka dalam kes ini, kita katakan sistem yang diberikan adalah stabil terbatas. Manakala dalam semua kes lain, kita akan katakan sistem yang diberikan adalah tidak stabil.