Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium

Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium Definition

Es ist eine Methode, um die Stabilität eines Systems mit Hilfe der charakteristischen Gleichung zu bestimmen.

Hurwitz-Kriterium

Mit der charakteristischen Gleichung können wir mehrere Hurwitz-Determinanten erstellen, um die Stabilität des Systems zu bestimmen. Die charakteristische Gleichung des Systems ist wie folgt definiert:

Für eine charakteristische Gleichung n-ter Ordnung gibt es n Determinanten.

So werden Determinanten aus den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung gebildet. Folgen Sie diesen Schritten für eine charakteristische Gleichung k-ter Ordnung:

Determinante eins : Der Wert dieser Determinante wird durch |a1| gegeben, wobei a1 der Koeffizient von sn-1 in der charakteristischen Gleichung ist.

Determinante zwei : Der Wert dieser Determinante wird durch

Hier ist die Anzahl der Elemente in jeder Zeile gleich der Determinantennummer, und wir haben hier die Determinantennummer zwei. Die erste Zeile besteht aus den ersten beiden ungeraden Koeffizienten, und die zweite Zeile besteht aus den ersten beiden geraden Koeffizienten.

Determinante drei : Der Wert dieser Determinante wird durch

Hier ist die Anzahl der Elemente in jeder Zeile gleich der Determinantennummer, und wir haben hier die Determinantennummer drei. Die erste Zeile besteht aus den ersten drei ungeraden Koeffizienten, die zweite Zeile besteht aus den ersten drei geraden Koeffizienten und die dritte Zeile besteht aus dem ersten Element als Null und den restlichen zwei Elementen als die ersten beiden ungeraden Koeffizienten.

Determinante vier: Der Wert dieser Determinante wird durch,

Hier ist die Anzahl der Elemente in jeder Zeile gleich der Determinantennummer, und wir haben hier die Determinantennummer vier. Die erste Zeile besteht aus den ersten vier Koeffizienten, die zweite Zeile besteht aus den ersten vier geraden Koeffizienten, die dritte Zeile besteht aus dem ersten Element als Null und den restlichen drei Elementen als die ersten drei ungeraden Koeffizienten, und die vierte Zeile besteht aus dem ersten Element als Null und den restlichen drei Elementen als die ersten drei geraden Koeffizienten.

Durch Anwendung dieses Verfahrens können wir die Determinantenbildung verallgemeinern. Die allgemeine Form der Determinante lautet wie folgt:

Um die Stabilität des Systems zu überprüfen, berechnen Sie den Wert jeder Determinante. Das System ist stabil, wenn jede Determinante positiv ist. Wenn eine Determinante nicht positiv ist, ist das System nicht stabil.

Routh-Stabilitätskriterium

Dieses Kriterium ist auch bekannt als modifiziertes Hurwitz-Kriterium für die Stabilität des Systems. Wir werden dieses Kriterium in zwei Teilen untersuchen. Teil eins wird die notwendige Bedingung für die Stabilität des Systems abdecken, und Teil zwei wird die hinreichende Bedingung für die Stabilität des Systems abdecken. Betrachten wir erneut die charakteristische Gleichung des Systems als

1)     Teil eins (notwendige Bedingung für die Stabilität des Systems): Hier haben wir zwei Bedingungen, die unten aufgeführt sind:

• Alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung sollten positiv und reell sein.

• Alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung sollten nicht null sein.

2)     Teil zwei (hinreichende Bedingung für die Stabilität des Systems): Lassen Sie uns zunächst die Routh-Tabelle erstellen. Um die Routh-Tabelle zu erstellen, folgen Sie diesen Schritten:

Die erste Zeile wird aus allen geraden Termen der charakteristischen Gleichung bestehen. Ordnen Sie sie vom ersten (geraden Term) bis zum letzten (geraden Term). Die erste Zeile lautet wie folgt: a0 a2 a4 a6…………

Die zweite Zeile wird aus allen ungeraden Termen der charakteristischen Gleichung bestehen. Ordnen Sie sie vom ersten (ungeraden Term) bis zum letzten (ungeraden Term). Die zweite Zeile lautet wie folgt: a1 a3 a5 a7………..

Die Elemente der dritten Zeile können wie folgt berechnet werden:

Erstes Element : Multiplizieren Sie a0 mit dem diagonal gegenüberliegenden Element der nächsten Spalte (d.h. a3), subtrahieren Sie dies dann vom Produkt von a1 und a2 (wobei a2 das diagonal gegenüberliegende Element der nächsten Spalte ist) und dividieren Sie das erhaltene Ergebnis schließlich durch a1. Mathematisch schreiben wir das erste Element als

Zweites Element : Multiplizieren Sie a0 mit dem diagonal gegenüberliegenden Element der übernächsten Spalte (d.h. a5), subtrahieren Sie dies dann vom Produkt von a1 und a4 (wobei a4 das diagonal gegenüberliegende Element der übernächsten Spalte ist) und dividieren Sie das erhaltene Ergebnis schließlich durch a1. Mathematisch schreiben wir das zweite Element als

Ähnlich können wir alle Elemente der dritten Zeile berechnen.

(d) Die Elemente der vierten Zeile können mit dem folgenden Verfahren berechnet werden:

Erstes Element : Multiplizieren Sie b1 mit dem diagonal gegenüberliegenden Element der nächsten Spalte (d.h. a3), subtrahieren Sie dies dann vom Produkt von a1 und b2 (wobei b2 das diagonal gegenüberliegende Element der nächsten Spalte ist) und dividieren Sie das erhaltene Ergebnis schließlich durch b1. Mathematisch schreiben wir das erste Element als

 (2) Zweites Element : Multiplizieren Sie b1 mit dem diagonal gegenüberliegenden Element der übernächsten Spalte (d.h. a5), subtrahieren Sie dies dann vom Produkt von a1 und b3 (wobei b3 das diagonal gegenüberliegende Element der übernächsten Spalte ist) und dividieren Sie das erhaltene Ergebnis schließlich durch a1. Mathematisch schreiben wir das zweite Element als

Ähnlich können wir alle Elemente der vierten Zeile berechnen.

Ähnlich können wir alle Elemente aller Zeilen berechnen.

Stabilitätskriterien, wenn alle Elemente der ersten Spalte positiv sind, ist das System stabil. Wenn jedoch eines davon negativ ist, ist das System instabil.

Nun gibt es einige spezielle Fälle im Zusammenhang mit dem Routh-Stabilitätskriterium, die unten besprochen werden:

Fall eins: Wenn das erste Element in einer beliebigen Zeile der Tabelle Null ist, während der Rest der Zeile mindestens ein nicht-null-Element hat.In diesem Fall nehmen wir einen sehr kleinen Wert (ε) an, der gegen Null strebt, anstelle von Null. Durch Ersetzen von Null durch (ε) berechnen wir alle Elemente der Routh-Tabelle. 

Nachdem alle Elemente berechnet wurden, wenden wir den Grenzwert auf jedes Element an, das (ε) enthält. Wenn wir bei jedem Element einen positiven Grenzwert erhalten, sagen wir, dass das gegebene System stabil ist, andernfalls, in allen anderen Fällen, sagen wir, dass das gegebene System nicht stabil ist.

Fall zwei : Wenn alle Elemente einer beliebigen Zeile der Routh-Tabelle Null sind. In diesem Fall können wir sagen, dass das System Symptome der marginalen Stabilität aufweist. Lassen Sie uns zunächst die physikalische Bedeutung verstehen, dass alle Elemente einer Zeile Null sind. 

Die physikalische Bedeutung ist, dass es symmetrisch angeordnete Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der s-Ebene gibt.Um in diesem Fall die Stabilität festzustellen, finden wir zunächst die Hilfsgleichung. Die Hilfsgleichung kann mithilfe der Elemente der Zeile direkt oberhalb der Nullzeile in der Routh-Tabelle gebildet werden. Nachdem die Hilfsgleichung gefunden wurde, differenzieren wir die Hilfsgleichung, um die Elemente der Nullzeile zu erhalten. 

Wenn es in der neuen Routh-Tabelle, die mit der Hilfsgleichung gebildet wurde, keinen Vorzeichenwechsel gibt, sagen wir, dass das gegebene System begrenzt stabil ist. In allen anderen Fällen sagen wir, dass das gegebene System instabil ist.