Kriterju ta' Stabbiltà Routh Hurwitz

Definizzjoni tal-Kriterju ta' Stabilità Routh Hurwitz

Hu metodu biex tiddetermina l-stabilità tas-sistema permezz tal-equazzjoni karatteristika.

Kriterju Hurwitz

Permezz tal-equazzjoni karatteristika, nistgħu nħolnu diversi determinanti Hurwitz biex nidterminaw l-stabilità tas-sistema. L-equazzjoni karatteristika tas-sistema hija definita kif-infer:

Hemm n determinanti għal equazzjoni karatteristika ta' ordni n^th.

Hawn hu kif jidher id-determinanti mill-koeffiċienti tal-equazzjoni karatteristika. Segwi dawk il-passi għal equazzjoni karatteristika ta' ordni kth:

Determinant uġola : Il-valur ta' din id-determinant jiġi data minn |a1| fejn a1 hu l-koeffiċient tas-sn-1 fil-equazzjoni karatteristika.

Determinant tnejnijiet : Il-valur ta' din id-determinant jiġi data minn

Hawn in-numru ta' elementi fiekoll riga huwa l-istess bħala numru tad-determinant, u għandna numru tad-determinant hawn hu tnejn. Ir-riga l-ewwel tiġi mill-ewwel tnejn koeffiċienti strambi, u s-silġa t-tieni tiġi mill-ewwel tnejn koeffiċienti żoġi.

Determinant tliet : Il-valur ta' din id-determinant jiġi data minn

Hawn in-numru ta' elementi fiekoll riga huwa l-istess bħala numru tad-determinant, u għandna numru tad-determinant hawn hu tliet. Ir-riga l-ewwel tiġi mill-ewwel tliet koeffiċienti strambi, ir-riga t-tieni tiġi mill-ewwel tliet koeffiċienti żoġi, u r-riga t-tielet tiġi mill-element ewwel bħala zero u l-rest ta' tliet elementi bħala l-ewwel tnejn koeffiċienti strambi.

Determinant erbgħa: Il-valur ta' din id-determinant jiġi data minn,

Hawn in-numru ta' elementi fiekoll riga huwa l-istess bħala numru tad-determinant, u għandna numru tad-determinant hawn hu erbgħa. Ir-riga l-ewwel tiġi mill-ewwel erbgħa koeffiċienti, ir-riga t-tieni tiġi mill-erbgħa koeffiċienti żoġi, ir-riga t-tielet tiġi mill-element ewwel bħala zero u l-rest ta' tliet elementi bħala l-ewwel tliet koeffiċienti strambi, wara r-riga raġel t-tielet tiġi mill-element ewwel bħala zero u l-rest ta' tliet elementi bħala l-ewwel tliet koeffiċienti żoġi.

Segwili l-procedura stess nistgħu ngeneralizzaw l-formazzjoni tad-determinant. Il-forma ġenerali tad-determinant hija diġà taf:

Biex nivverifikaw l-stabilità tas-sistema, ikkalkulaw il-valur ta' kwalunkwe determinant. Is-sistema hi stabili jekk kull determinant hu pożittiv. Jekk xi determinant mhux pożittiv, is-sistema mhux stabili.

Kriterju ta' Stabilità Routh

Dan il-kriterju hu wkoll magħruf bħala Kriterju ta' Stabilità Hurwitz modifikat. Nistudjaw dan il-kriterju fi żewġ parti. Parti waħda se toqqsam il-kondizzjoni neċessarja għall-stabilità tas-sistema, u parti tnejn se toqqsam il-kondizzjoni suffiċjenti għall-stabilità tas-sistema. Ikkunsidraw mill-ġdid l-equazzjoni karatteristika tas-sistema kif-infer

1)     Parti waħda (kondizzjoni neċessarja għall-stabilità tas-sistema): Hawn għandna żewġ kondizzjonijiet li huma skritti hawn taħt:

• Kull koeffiċient tal-equazzjoni karatteristika għandu jkun pożittiv u reali.

• Kull koeffiċient tal-equazzjoni karatteristika għandu jkun mhux zero.

2)     Parti tnejn (kondizzjoni suffiċjenti għall-stabilità tas-sistema): Ikkonsidraw mill-ġdid l-array Routh. Biex nkunu l-array Routh, segwi dawk il-passi:

Ir-riga l-ewwel se tkun komposta mill-koeffiċienti żoġi tal-equazzjoni karatteristika. Aqrabhom mill-ewwel (żoġi) sa l-aħħar (żoġi). Ir-riga l-ewwel hija skrita hawn taħt: a0 a2 a4 a6…………

Ir-riga t-tieni se tkun komposta mill-koeffiċienti strambi tal-equazzjoni karatteristika. Aqrabhom mill-ewwel (strambi) sa l-aħħar (strambi). Ir-riga t-tieni hija skrita hawn taħt: a1 a3 a5 a7………..

L-elementi tar-riga t-tielet jistgħu jikkalkulawx billi:

Element ewwel : Iġibu a0 mal-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss (jiġifieri a3), sibt dan minn prodott a1 u a2 (fejn a2 hu l-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss) u Alla fine qasam ir-riżultat sa mhu lil a1. Matematikament niskrivu l-element ewwel

Element tnejnijiet : Iġibu a0 mal-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss (jiġifieri a5), sibt dan minn prodott a1 u a4 (fejn a4 hu l-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss) u Alla fine qasam ir-riżultat sa mhu lil a1. Matematikament niskrivu l-element tnejnijiet

Fl-istess mod, nistgħu nikkalkulaw kwalunkwe element tar-riga t-tielet.

(d) L-elementi dar-riga erbgħa jistgħu jikkalkulawx bl-użu tal-proċedura segwenti:

Element ewwel : Iġibu b 1 mal-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss (jiġifieri a3), sibt dan minn prodott a1 u b2 (fejn b2 hu l-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss) u Alla fine qasam ir-riżultat sa mhu lil b1. Matematikament niskrivu l-element ewwel

 (2) Element tnejnijiet : Iġibu b1 mal-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss (jiġifieri a5), sibt dan minn prodott a1 u b3 (fejn b3 hu l-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss) u Alla fine qasam ir-riżultat sa mhu lil a1. Matematikament niskrivu l-element tnejnijiet

Fl-istess mod, nistgħu nikkalkulaw kwalunkwe element dar-riga erbgħa.

Fl-istess mod, nistgħu nikkalkulaw kwalunkwe element dar-rijegh.

Kriterju tal-stabilità jekk kwalunkwe element tal-kolonna l-ewwel hu pożittiv, allura is-sistema tkun stabili. Ima jekk xi wahda minnhom tkun negattiva, is-sistema tkun mhux stabili.

Issa hemm ċertu każi speċjali relatati mal-Kriterju ta' Stabilità Routh li huma diskussjoni hawn taħt:

Każ waħid: Jekk it-termu l-ewwel f'xi riga tal-array huwa żero, waqt li l-baqi tal-riga għandha x-xogħol termu mhux żero. Fl-każ dan nassumu valur ħafif (ε) li qed jiġi approssimativament Żero f'post Żero. Permezz tal-issostituzzjoni ta' Żero bl-(ε) nikkalkulaw kwalunkwe element tal-array Routh. 

Waqt li nikkalkulaw kwalunkwe element, applicaw il-limitu għal kwalunkwe element li jinkludi (ε). Fil-moħħ tal-limitu għal kwalunkwe element, jekk nisbah valur limitativ pożittiv, allura nqolu li s-sistema mgħudija hi stabili, waqt li fl-istess kundizzjonijiet oħra nqolu li s-sistema mgħudija mhux stabili.

Każ tnejn : Meta kull element ta' xi riga tal-array Routh huwa żero. Fl-każ dan nistgħu nqolu li s-sistema għandha sintomi ta' stabilità marginali. Ikkunsidraw mill-ġdid l-signifikat fiziku ta' kull element ta' żero ta' xi riga. 

Il-signifikat fiziku huwa li hemm radici simmetriċi tal-equazzjoni karatteristika fis-plane s.Issa biex nittfu l-stabilità fl-każ dan, nistartu bil-formazzjoni tal-equazzjoni ausiliarja. It-talba tal-equazzjoni ausiliarja tista' tikkonstruwa mill-elementi tar-riga li qabel ir-riga ta' żero fil-array Routh. Wara li nittfu l-equazzjoni ausiliarja, niffirxuh biex nittfu l-elementi tal-riga ta' żero. 

Jekk ma jkunx x-xogħol varjazzjoni fid-direzzjoni fl-array Routh ġdid li ġie konstrutt mill-equazzjoni ausiliarja, allura fl-każ dan nqolu li s-sistema mgħudija hi stabili limitat. Waqt li fl-istess kundizzjonijiet oħra nqolu li s-sistema mgħudija mhux stabili.