معیار پایداری رات-هرویتز

تعریف معیار پایداری رات-هرویتز

این یک روش برای تعیین پایداری سیستم با استفاده از معادله مشخصه است.

معیار هرویتز

با استفاده از معادله مشخصه، می‌توانیم چندین دترمینان هرویتز ایجاد کنیم تا پایداری سیستم را تعیین کنیم. معادله مشخصه سیستم به صورت زیر تعریف شده است:

برای یک معادله مشخصه مرتبه nام، n دترمینان وجود دارد.

اینجا نحوه نوشتن دترمینان‌ها از ضرایب معادله مشخصه است. برای یک معادله مشخصه مرتبه kام، این مراحل را دنبال کنید:

دترمینان اول : مقدار این دترمینان توسط |a1| تعیین می‌شود که در آن a1 ضریب sn-1 در معادله مشخصه است.

دترمینان دوم : مقدار این دترمینان توسط

در اینجا تعداد عناصر در هر ردیف برابر با عدد دترمینان است و ما در اینجا عدد دترمینان دو است. ردیف اول شامل دو ضریب فرد اول است و ردیف دوم شامل دو ضریب زوج اول است.

دترمینان سوم : مقدار این دترمینان توسط

در اینجا تعداد عناصر در هر ردیف برابر با عدد دترمینان است و ما در اینجا عدد دترمینان سه است. ردیف اول شامل سه ضریب فرد اول است، ردیف دوم شامل سه ضریب زوج اول است و ردیف سوم شامل عنصر اول صفر و دو عنصر بعدی به عنوان دو ضریب فرد اول است.

دترمینان چهارم: مقدار این دترمینان توسط،

در اینجا تعداد عناصر در هر ردیف برابر با عدد دترمینان است و ما در اینجا عدد دترمینان چهار است. ردیف اول شامل چهار ضریب اول است، ردیف دوم شامل چهار ضریب زوج اول است، ردیف سوم شامل عنصر اول صفر و سه عنصر بعدی به عنوان سه ضریب فرد اول است و ردیف چهارم شامل عنصر اول صفر و سه عنصر بعدی به عنوان سه ضریب زوج اول است.

با دنبال کردن همین روند، می‌توانیم تشکیل دترمینان را تعمیم دهیم. فرم عمومی دترمینان به صورت زیر است:

برای بررسی پایداری سیستم، مقدار هر دترمینان را محاسبه کنید. اگر هر دترمینان مثبت باشد، سیستم پایدار است. اگر هر یک از دترمینان‌ها مثبت نباشد، سیستم پایدار نیست.

معیار پایداری رات

این معیار نیز به عنوان معیار هرویتز اصلاح شده برای پایداری سیستم شناخته می‌شود. ما این معیار را در دو بخش مطالعه خواهیم کرد. بخش اول شرط لازم برای پایداری سیستم را پوشش می‌دهد و بخش دوم شرط کافی برای پایداری سیستم را پوشش می‌دهد. بیایید دوباره معادله مشخصه سیستم را در نظر بگیریم

1)     بخش اول (شرط لازم برای پایداری سیستم): در اینجا دو شرط وجود دارد که در زیر آمده است:

• همه ضرایب معادله مشخصه باید مثبت و حقیقی باشند.

• همه ضرایب معادله مشخصه باید غیرصفر باشند.

2)     بخش دوم (شرط کافی برای پایداری سیستم): بیایید ابتدا جدول رات را ساخته شود. برای ساخت جدول رات، مراحل زیر را دنبال کنید:

ردیف اول شامل تمام جملات زوج معادله مشخصه خواهد بود. آنها را از اول (جمله زوج) تا آخر (جمله زوج) مرتب کنید. ردیف اول به صورت زیر نوشته می‌شود: a0 a2 a4 a6…………

ردیف دوم شامل تمام جملات فرد معادله مشخصه خواهد بود. آنها را از اول (جمله فرد) تا آخر (جمله فرد) مرتب کنید. ردیف دوم به صورت زیر نوشته می‌شود: a1 a3 a5 a7………..

عناصر ردیف سوم می‌توانند به صورت زیر محاسبه شوند:

عنصر اول : a0 را در عنصر قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a3) ضرب کنید، سپس این حاصل را از حاصلضرب a1 و a2 (که a2 عنصر قطری مقابل ستون بعدی است) کم کنید و در نهایت نتیجه را با a1 تقسیم کنید. ریاضیاً می‌نویسیم عنصر اول

عنصر دوم : a0 را در عنصر قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a5) ضرب کنید، سپس این حاصل را از حاصلضرب a1 و a4 (که a4 عنصر قطری مقابل ستون بعدی است) کم کنید و در نهایت نتیجه را با a1 تقسیم کنید. ریاضیاً می‌نویسیم عنصر دوم

به همین ترتیب، می‌توانیم تمام عناصر ردیف سوم را محاسبه کنیم.

(d) عناصر ردیف چهارم می‌توانند با استفاده از روش زیر محاسبه شوند:

عنصر اول : b1 را در عنصر قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a3) ضرب کنید، سپس این حاصل را از حاصلضرب a1 و b2 (که b2 عنصر قطری مقابل ستون بعدی است) کم کنید و در نهایت نتیجه را با b1 تقسیم کنید. ریاضیاً می‌نویسیم عنصر اول

 (2) عنصر دوم : b1 را در عنصر قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a5) ضرب کنید، سپس این حاصل را از حاصلضرب a1 و b3 (که b3 عنصر قطری مقابل ستون بعدی است) کم کنید و در نهایت نتیجه را با a1 تقسیم کنید. ریاضیاً می‌نویسیم عنصر دوم

به همین ترتیب، می‌توانیم تمام عناصر ردیف چهارم را محاسبه کنیم.

به همین ترتیب، می‌توانیم تمام عناصر تمام ردیف‌ها را محاسبه کنیم.

معیار پایداری اگر همه عناصر ستون اول مثبت باشند، سیستم پایدار است. اما اگر هر یک از آنها منفی باشد، سیستم ناپایدار است.

حالا برخی موارد خاص مرتبط با معیار پایداری رات وجود دارد که در زیر مورد بحث قرار می‌گیرند:

حالت اول: اگر اولین جمله در هر ردیف جدول صفر باشد در حالی که بقیه ردیف حداقل یک جمله غیرصفر دارد.در این حالت، ما یک مقدار بسیار کوچک (ε) را که به صفر میل می‌کند در جای صفر قرار می‌دهیم. با جایگزینی صفر با (ε)، تمام عناصر جدول رات را محاسبه خواهیم کرد. 

بعد از محاسبه تمام عناصر، حد در هر عنصر حاوی (ε) را اعمال خواهیم کرد. با حل حد در هر عنصر، اگر مقدار حد مثبت باشد، می‌گوییم سیستم داده شده پایدار است، در غیر این صورت در تمام شرایط دیگر می‌گوییم سیستم داده شده ناپایدار است.

حالت دوم : وقتی همه عناصر هر ردیف جدول رات صفر باشند. در این حالت می‌توانیم بگوییم سیستم علائم پایداری مرزی دارد. بیایید ابتدا معنای فیزیکی داشتن همه عناصر صفر در هر ردیف را بفهمیم. 

معنای فیزیکی این است که ریشه‌های متقارن معادله مشخصه در صفحه s وجود دارد.حالا برای یافتن پایداری در این حالت، ابتدا معادله کمکی را پیدا خواهیم کرد. معادله کمکی می‌تواند با استفاده از عناصر ردیف مستقیماً بالای ردیف صفرها در جدول رات تشکیل شود. پس از یافتن معادله کمکی، آن را مشتق می‌گیریم تا عناصر ردیف صفر را به دست آوریم. 

اگر در جدول رات جدید که با استفاده از معادله کمکی تشکیل شده است، هیچ تغییر علامتی وجود نداشته باشد، در این حالت می‌گوییم سیستم داده شده پایدار محدود است. در تمام شرایط دیگر می‌گوییم سیستم داده شده ناپایدار است.