Критериум на стабилноста на Раут-Хурвиц

Дефиниција на критериумот за стабилност на Рут-Хурвиц

Тоа е метод за одредување на стабилноста на систем користејќи ја карактеристичната равенка.

Критериум на Хурвиц

Користејќи ја карактеристичната равенка, можеме да создадеме неколку детерминанти на Хурвиц за да одредиме стабилноста на системот. Карактеристичната равенка на системот е дефинирана како следи:

Постојат n детерминанти за карактеристична равенка од n-ти ред.

Еве како да напишете детерминанти од коефициентите на карактеристичната равенка. Следете ги овие чекори за карактеристична равенка од k-ти ред:

Прва детерминанта : Вредноста на оваа детерминанта е дадена со |a1| каде што a1 е коефициентот на sn-1 во карактеристичната равенка.

Втора детерминанта : Вредноста на оваа детерминанта е дадена со

Бројот на елементи во секој ред е еднаков на бројот на детерминанта и имаме детерминанта број два. Првиот ред се состои од првите две непарни коефициенти, а вториот ред се состои од првите две парни коефициенти.

Трета детерминанта : Вредноста на оваа детерминанта е дадена со

Бројот на елементи во секој ред е еднаков на бројот на детерминанта и имаме детерминанта број три. Првиот ред се состои од првите три непарни коефициенти, вториот ред се состои од првите три парни коефициенти, а третиот ред се состои од првиот елемент како нула и останатите два елементи како првите две непарни коефициенти.

Четврта детерминанта: Вредноста на оваа детерминанта е дадена со,

Бројот на елементи во секој ред е еднаков на бројот на детерминанта и имаме детерминанта број четири. Првиот ред се состои од првите четири коефициенти, вториот ред се состои од првите четири парни коефициенти, третиот ред се состои од првиот елемент како нула и останатите три елементи како првите три непарни коефициенти, а четвртиот ред се состои од првиот елемент како нула и останатите три елементи како првите три парни коефициенти.

Следејќи истата процедура можеме да општествуваме формирањето на детерминанта. Општиот облик на детерминанта е даден подолу:

За да провериме стабилноста на системот, изчислете вредноста на секоја детерминанта. Системот е стабилен ако секоја детерминанта е позитивна. Ако било која детерминанта не е позитивна, системот не е стабилен.

Критериум на Рут за стабилност

Овој критериум е познат и како модифициран критериум на Хурвиц за стабилност на системот. Ќе го проучиме овој критериум во две делови. Делот ќе покрие потребни услови за стабилноста на системот, а делот ќе покрие доволни услови за стабилноста на системот. Пак нека разгледаме карактеристичната равенка на системот како

1)     Дел (необходими услови за стабилноста на системот): Тука имаме два услови кои се запишани подолу:

• Сите коефициенти на карактеристичната равенка треба да бидат позитивни и реални.

• Сите коефициенти на карактеристичната равенка треба да бидат различни од нула.

2)     Дел (довољни услови за стабилноста на системот): Нека прво конструираме табела на Рут. За да конструираме табелата на Рут следете ги овие чекори:

Првиот ред ќе се состои од сите парни членови на карактеристичната равенка. Распоредете ги од првиот (парен член) до последниот (парен член). Првиот ред е запишан подолу: a0 a2 a4 a6…………

Вториот ред ќе се состои од сите непарни членови на карактеристичната равенка. Распоредете ги од првиот (непарен член) до последниот (непарен член). Првиот ред е запишан подолу: a1 a3 a5 a7………..

Елементите на третиот ред може да се пресметаат како:

Први елемент : Помножете a0 со дијагонално спротивниот елемент на следната колона (т.е. a3), потоа одземете ова од производот на a1 и a2 (каде што a2 е дијагонално спротивниот елемент на следната колона) и на крај го поделете добиениот резултат со a1. Математички го пишуваме првиот елемент

Втор елемент : Помножете a0 со дијагонално спротивниот елемент на следната колона (т.е. a5), потоа одземете ова од производот на a1 и a4 (каде што a4 е дијагонално спротивниот елемент на следната колона) и на крај го поделете добиениот резултат со a1. Математички го пишуваме вториот елемент

Слично, можеме да пресметаме сите елементи на третиот ред.

(d) Елементите на четвртиот ред може да се пресметаат користејќи ја следнава процедура:

Први елемент : Помножете b1 со дијагонално спротивниот елемент на следната колона (т.е. a3), потоа одземете ова од производот на a1 и b2 (каде што b2 е дијагонално спротивниот елемент на следната колона) и на крај го поделете добиениот резултат со b1. Математички го пишуваме првиот елемент

 (2) Втор елемент : Помножете b1 со дијагонално спротивниот елемент на следната колона (т.е. a5), потоа одземете ова од производот на a1 и b3 (каде што b3 е дијагонално спротивниот елемент на следната колона) и на крај го поделете добиениот резултат со a1. Математички го пишуваме вториот елемент

Слично, можеме да пресметаме сите елементи на четвртиот ред.

Слично, можеме да пресметаме сите елементи на сите редови.

Критериум за стабилност ако сите елементи на првата колона се позитивни, тогаш системот ќе биде стабилен. Меѓутоа, ако било кој од нив е негативен, системот ќе биде нестабилен.

Сега има некои специјални случаи поврзани со критериумот на Рут за стабилност, кои се објаснуваат подолу:

Први случај: Ако првиот член во било кој ред на табелата е нула, додека остатокот од редот има барем еден ненулев член.Во овој случај ќе претпоставиме многу мала вредност (ε) која тежи кон нула наместо нула. Заменувајќи го нулата со (ε) ќе пресметаме сите елементи на табелата на Рут. 

После пресметување на сите елементи ќе примениме границата на секој елемент кој содржи (ε). Решавајќи го лимитот на секој елемент, ако добиеме позитивна гранична вредност, тогаш ќе кажеме дека дадениот систем е стабилен, во сите други услови ќе кажеме дека дадениот систем не е стабилен.

Втор случај : Кога сите елементи на било кој ред на табелата на Рут се нула. Во овој случај можеме да кажеме дека системот има симптоми на маргинална стабилност. Нека прво разбереме физичката значење на имање на сите елементи нула на било кој ред. 

Физичката значење е дека постојат симетрично распоредени корени на карактеристичната равенка во s-планина.Сега, за да го најдеме стабилноста во овој случај, прво ќе најдеме помошна равенка. Помошната равенка може да се формира користејќи елементите на редот точно над редот на нули во табелата на Рут. После наоѓање на помошната равенка, ќе ја диференцираме помошната равенка за да добиеме елементи на редот на нули. 

Ако нема промена на знак во новата табела на Рут формирана користејќи помошната равенка, тогаш во овој случај ќе кажеме дека дадениот систем е ограничено стабилен. Во сите други случаи ќе кажеме дека дадениот систем е нестабилен.