Kriterijum stabilnosti Routh-Hurwitz
Definicija Raut-Hurvicovog kriterijuma stabilnosti
To je metoda za određivanje stabilnosti sistema pomoću karakteristične jednačine.
Hurvicov kriterijum
Korišćenjem karakteristične jednačine, možemo formirati nekoliko Hurvicovih determinanata kako bismo odredili stabilnost sistema. Karakteristična jednačina sistema definisana je na sledeći način:
Postoji n determinanata za n-ti redni karakterističnu jednačinu.
Evo kako pisati determinante iz koeficijenata karakteristične jednačine. Pratite ove korake za k-ti redni karakterističnu jednačinu:
Determinanta jedan : Vrednost ove determinante data je sa |a1| gde je a1 koeficijent sn-1 u karakterističnoj jednačini.
Determinanta dva : Vrednost ove determinante data je sa
Ovde broj elemenata u svakom redu jednak je broju determinante, a imamo da je broj determinante dva. Prvi red sastoji se od prvih dva neparna koeficijenta, a drugi red sastoji se od prvih dva parna koeficijenta.
Determinanta tri : Vrednost ove determinante data je sa
Ovde broj elemenata u svakom redu jednak je broju determinante, a imamo da je broj determinante tri. Prvi red sastoji se od prvih tri neparna koeficijenta, drugi red sastoji se od prvih tri parna koeficijenta, a treći red sastoji se od prvog elementa kao nula i preostalih dva elementa kao prvih dva neparna koeficijenta.
Determinanta četiri: Vrednost ove determinante data je sa,
Ovde broj elemenata u svakom redu jednak je broju determinante, a imamo da je broj determinante četiri. Prvi red sastoji se od prvih četiri koeficijenta, drugi red sastoji se od prvih četiri parna koeficijenta, treći red sastoji se od prvog elementa kao nula i preostalih tri elementa kao prvih tri neparna koeficijenta, a četvrti red sastoji se od prvog elementa kao nula i preostalih tri elementa kao prvih tri parna koeficijenta.
Prateći istu proceduru, možemo generalizovati formiranje determinante. Opšti oblik determinante dat je ispod:
Da biste proverili stabilnost sistema, izračunajte vrednost svake determinante. Sistem je stabilan ako je svaka determinanta pozitivna. Ako je bilo koja determinanta negativna, sistem nije stabilan.
Rautov kriterijum stabilnosti
Ovaj kriterijum poznat je i kao modifikovani Hurvicov kriterijum stabilnosti sistema. Ispitati ćemo ovaj kriterijum u dva dela. Prvi deo će pokrivati nužne uslove za stabilnost sistema, a drugi deo će pokrivati dovoljne uslove za stabilnost sistema. Ponovo posmatrajmo karakterističnu jednačinu sistema kao
1) Prvi deo (nužni uslovi za stabilnost sistema): Ovde imamo dva uslova koji su navedeni ispod:
Svi koeficijenti karakteristične jednačine treba da budu pozitivni i realni.
Svi koeficijenti karakteristične jednačine treba da budu različiti od nule.
2) Drugi deo (dovoljni uslovi za stabilnost sistema): Najpre konstruišimo Rautovu tabelu. Da biste konstruisali Rautovu tabelu, pratite ove korake:
Prvi red će sadržati sve parne članove karakteristične jednačine. Poredajte ih od prvog (parnog člana) do poslednjeg (parnog člana). Prvi red napisan je ispod: a0 a2 a4 a6…………
Drugi red će sadržati sve neparne članove karakteristične jednačine. Poredajte ih od prvog (neparnog člana) do poslednjeg (neparnog člana). Drugi red napisan je ispod: a1 a3 a5 a7………..
Elementi trećeg reda mogu se izračunati na sledeći način:
Prvi element : Pomnožite a0 sa dijagonalno suprotnim elementom sledeće kolone (tj. a3), zatim oduzmite to od proizvoda a1 i a2 (gde je a2 dijagonalno suprotan element sledeće kolone) i zatim konačno podijelite rezultat tako dobijen sa a1. Matematički pišemo prvi element
Drugi element : Pomnožite a0 sa dijagonalno suprotnim elementom sledeće kolone (tj. a5), zatim oduzmite to od proizvoda a1 i a4 (gde je a4 dijagonalno suprotan element sledeće kolone) i zatim konačno podijelite rezultat tako dobijen sa a1. Matematički pišemo drugi element
Na sličan način možemo izračunati sve elemente trećeg reda.
(d) Elementi četvrtog reda mogu se izračunati koristeći sledeći postupak:
Prvi element : Pomnožite b1 sa dijagonalno suprotnim elementom sledeće kolone (tj. a3), zatim oduzmite to od proizvoda a1 i b2 (gde je b2 dijagonalno suprotan element sledeće kolone) i zatim konačno podijelite rezultat tako dobijen sa b1. Matematički pišemo prvi element
(2) Drugi element : Pomnožite b1 sa dijagonalno suprotnim elementom sledeće kolone (tj. a5), zatim oduzmite to od proizvoda a1 i b3 (gde je b3 dijagonalno suprotan element sledeće kolone) i zatim konačno podijelite rezultat tako dobijen sa a1. Matematički pišemo drugi element
Na sličan način možemo izračunati sve elemente četvrtog reda.
Na sličan način možemo izračunati sve elemente svih redova.
Kriterijumi stabilnosti: ako su svi elementi prvog stupca pozitivni, tada će sistem biti stabilan. Međutim, ako je bilo koji od njih negativan, sistem će biti nestabilan.
Sada postoje neki specijalni slučajevi vezani za Rautov kriterijum stabilnosti, koji su diskutirani ispod:
Slučaj jedan: Ako je prvi član u bilo kom redu tabele nula, dok ostatak reda ima barem jedan nenula član. U ovom slučaju pretpostavljamo vrlo malu vrednost (ε) koja teži nuli umesto nule. Zamenom nule sa (ε) izračunavamo sve elemente Rautove tabele.
Nakon izračunavanja svih elemenata, primenjujemo limes na svaki element koji sadrži (ε). Rešavajući limes na svakom elementu, ako dobijemo pozitivnu granicnu vrednost, kažemo da dati sistem je stabilan, u svim ostalim slučajevima kažemo da dati sistem nije stabilan.
Slučaj drugi : Kada su svi elementi bilo kog reda Rautove tabele nula. U ovom slučaju možemo reći da sistem ima simptome marginalne stabilnosti. Najpre razumijevanje fizičkog značenja imanja svih elemenata nula u bilo kom redu.
Fizičko značenje je da su simetrično raspoređene koreni karakteristične jednačine u s-ravni. Sada kako bismo utvrdili stabilnost u ovom slučaju, prvo ćemo odrediti pomoćnu jednačinu. Pomoćnu jednačinu možemo formirati korišćenjem elemenata reda direktno iznad reda nula u Rautovoj tabeli. Nakon pronalaženja pomoćne jednačine, diferenciranjem pomoćne jednačine dobijamo elemente reda nula.
Ako nema promene znaka u novoj Rautovoj tabeli formiranoj korišćenjem pomoćne jednačine, tada kažemo da je dati sistem ograničeno stabilan. U svim ostalim slučajevima kažemo da je dati sistem nestabilan.
