ਰਾਊਥ ਹੁਰਵਿਟਜ ਸਥਿਰਤਾ ਮਾਪਦੰਡ

ਰਾਊਥ ਹੁਰਵਿਟਜ ਸਥਿਰਤਾ ਮਾਪਦੰਡ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

ਇਹ ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।

ਹੁਰਵਿਟਜ ਮਾਪਦੰਡ

ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਹੁਰਵਿਟਜ ਨਿਰਧਾਰਕ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

n^ਵੀਂ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਲਈ n ਨਿਰਧਾਰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਇਹ ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਲਿਖਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। k^ਵੀਂ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਲਈ ਇਹ ਚਰਨ ਫਾਲੋ ਕਰੋ:

ਪਹਿਲਾ ਨਿਰਧਾਰਕ : ਇਸ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਮੁੱਲ ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਵਿੱਚ s^n-1 ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ a1 ਦੁਆਰਾ |a1| ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਦੂਜਾ ਨਿਰਧਾਰਕ : ਇਸ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਮੁੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ

ਇੱਥੇ ਹਰ ਕਿਸੇ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਥੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੋ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਅਧਿਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ।

ਤੀਜਾ ਨਿਰਧਾਰਕ : ਇਸ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਮੁੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ

ਇੱਥੇ ਹਰ ਕਿਸੇ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਥੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤਿੰਨ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਅਧਿਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ, ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ ਅਤੇ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਪਹਿਲਾ ਤੱਤ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਦੋ ਤੱਤ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਅਧਿਕ ਗੁਣਾਂਕ ਹਨ।

ਚੌਥਾ ਨਿਰਧਾਰਕ: ਇਸ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਮੁੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ,

ਇੱਥੇ ਹਰ ਕਿਸੇ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਥੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਚਾਰ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ, ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ, ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਪਹਿਲਾ ਤੱਤ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਤਿੰਨ ਤੱਤ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਅਧਿਕ ਗੁਣਾਂਕ ਹਨ, ਚੌਥੀ ਕਤਾਰ ਪਹਿਲਾ ਤੱਤ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਤਿੰਨ ਤੱਤ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣਾਂਕ ਹਨ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਚਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਸਾਮਾਨਿਕ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਸਾਮਾਨਿਕ ਰੂਪ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰ ਕਿਸੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਮੁੱਲ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਸਿਸਟਮ ਸਥਿਰ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਹਰ ਕਿਸੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਮੁੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗੀ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵੀ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਸਟਮ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ।

ਰਾਊਥ ਸਥਿਰਤਾ ਮਾਪਦੰਡ

ਇਹ ਮਾਪਦੰਡ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਦਾ ਸੁਧਾਰਿਤ ਹੁਰਵਿਟਜ ਮਾਪਦੰਡ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਮਾਪਦੰਡ ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਧੀ ਕਰਾਂਗੇ। ਭਾਗ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਲਈ ਆਵਸ਼ਿਕ ਸ਼ਰਤ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੋ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਲਈ ਪ੍ਰਯਾਸ਼ਨਿਕ ਸ਼ਰਤ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇਗਾ। ਹੋਰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ

1)     ਭਾਗ ਇੱਕ (ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਲਈ ਆਵਸ਼ਿਕ ਸ਼ਰਤ): ਇਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਥੇ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ:

• ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਾਂਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੋਣ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।

• ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਾਂਕ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੋਣ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।

2)     ਭਾਗ ਦੋ (ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਲਈ ਪ੍ਰਯਾਸ਼ਨਿਕ ਸ਼ਰਤ): ਹੋਰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਰਾਊਥ ਐਰੇ ਬਣਾਓ। ਰਾਊਥ ਐਰੇ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇਹ ਚਰਨ ਫਾਲੋ ਕਰੋ:

ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਹਿਯੋਗੀ ਪਦਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੋਵੇਗੀ। ਉਨਹਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ (ਸਹਿਯੋਗੀ ਪਦ) ਤੋਂ ਅੱਖਰੀ (ਸਹਿਯੋਗੀ ਪਦ) ਤੱਕ ਵਿਨ੍ਯਾਸ ਕਰੋ। ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ: a0 a2 a4 a6…………

ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਸਾਰੇ ਅਧਿਕ ਪਦਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੋਵੇਗੀ। ਉਨਹਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ (ਅਧਿਕ ਪਦ) ਤੋਂ ਅੱਖਰੀ (ਅਧਿਕ ਪਦ) ਤੱਕ ਵਿਨ੍ਯਾਸ ਕਰੋ। ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ: a1 a3 a5 a7………..

ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗਣਨਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

ਪਹਿਲਾ ਤੱਤ : a0 ਨੂੰ ਅਗਲੀ ਕਲਮ ਦੇ ਵਿਕਰਨੀ ਵਿਰੋਧੀ ਤੱਤ (i.e. a3) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ a1 ਅਤੇ a2 (ਜਿਥੇ a2 ਅਗਲੀ ਕਲਮ ਦਾ ਵਿਕਰਨੀ ਵਿਰੋਧੀ ਤੱਤ ਹੈ) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅੰਤਿਮ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ a1 ਨਾਲ ਵੰਡੋ। ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਤੱਤ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ

ਦੂਜਾ ਤੱਤ : a0 ਨੂੰ ਅਗਲੀ ਕਲਮ ਦੇ ਵਿਕਰਨੀ ਵਿਰੋਧੀ ਤੱਤ (i.e. a5) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ a1 ਅਤੇ a4 (ਜਿਥੇ, a4 ਅਗਲੀ ਕਲਮ ਦਾ ਵਿਕਰਨੀ ਵਿਰੋਧੀ ਤੱਤ ਹੈ) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅੰਤਿਮ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ a1 ਨਾਲ ਵੰਡੋ। ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੂਜਾ ਤੱਤ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸ