राउथ हुर्विट्ज स्थिरता मानक

राउथ हुर्विट्स स्थिरता मानदण्ड की परिभाषा

यह विशेष गुणनखंड समीकरण का उपयोग करके एक प्रणाली की स्थिरता निर्धारित करने की एक विधि है।

हुर्विट्स मानदण्ड

विशेष गुणनखंड समीकरण का उपयोग करके, हम कई हुर्विट्स निर्धारक बना सकते हैं जो प्रणाली की स्थिरता निर्धारित करते हैं। प्रणाली का विशेष गुणनखंड समीकरण इस प्रकार परिभाषित है:

एक n^th क्रम के विशेष गुणनखंड समीकरण के लिए n निर्धारक होते हैं।

यहाँ विशेष गुणनखंड समीकरण के गुणांक से निर्धारक लिखने का तरीका दिया गया है। एक kth क्रम के विशेष गुणनखंड समीकरण के लिए इन चरणों का पालन करें:

निर्धारक एक : इस निर्धारक का मान |a1| द्वारा दिया जाता है, जहाँ a1 विशेष गुणनखंड समीकरण में sn-1 का गुणांक है।

निर्धारक दो : इस निर्धारक का मान निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

यहाँ प्रत्येक पंक्ति में तत्वों की संख्या निर्धारक संख्या के बराबर है और यहाँ निर्धारक संख्या दो है। पहली पंक्ति पहले दो विषम गुणांकों से और दूसरी पंक्ति पहले दो सम गुणांकों से बनी है।

निर्धारक तीन : इस निर्धारक का मान निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

यहाँ प्रत्येक पंक्ति में तत्वों की संख्या निर्धारक संख्या के बराबर है और यहाँ निर्धारक संख्या तीन है। पहली पंक्ति पहले तीन विषम गुणांकों से, दूसरी पंक्ति पहले तीन सम गुणांकों से और तीसरी पंक्ति पहला तत्व शून्य और बाकी दो तत्व पहले दो विषम गुणांकों से बनी है।

निर्धारक चार: इस निर्धारक का मान निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

यहाँ प्रत्येक पंक्ति में तत्वों की संख्या निर्धारक संख्या के बराबर है और यहाँ निर्धारक संख्या चार है। पहली पंक्ति पहले चार गुणांकों से, दूसरी पंक्ति पहले चार सम गुणांकों से, तीसरी पंक्ति पहला तत्व शून्य और बाकी तीन तत्व पहले तीन विषम गुणांकों से और चौथी पंक्ति पहला तत्व शून्य और बाकी तीन तत्व पहले तीन सम गुणांकों से बनी है।

इसी प्रक्रिया का अनुसरण करके हम निर्धारक गठन को सामान्यीकृत कर सकते हैं। निर्धारक का सामान्य रूप नीचे दिया गया है:

प्रणाली की स्थिरता की जाँच करने के लिए, प्रत्येक निर्धारक का मान गणना करें। प्रणाली स्थिर होगी यदि प्रत्येक निर्धारक सकारात्मक है। यदि कोई भी निर्धारक सकारात्मक नहीं है, तो प्रणाली स्थिर नहीं है।

राउथ स्थिरता मानदण्ड

यह मानदण्ड प्रणाली की स्थिरता के हुर्विट्स मानदण्ड का संशोधित रूप भी कहलाता है। हम इस मानदण्ड का अध्ययन दो भागों में करेंगे। भाग एक में प्रणाली की स्थिरता के लिए आवश्यक शर्तों का विवरण दिया जाएगा और भाग दो में प्रणाली की स्थिरता के लिए पर्याप्त शर्तों का विवरण दिया जाएगा। फिर से प्रणाली का विशेष गुणनखंड समीकरण को ध्यान में रखें

1)     भाग एक (प्रणाली की स्थिरता के लिए आवश्यक शर्त): इसमें दो शर्तें हैं जो नीचे दी गई हैं:

• विशेष गुणनखंड समीकरण के सभी गुणांक सकारात्मक और वास्तविक होने चाहिए।

• विशेष गुणनखंड समीकरण के सभी गुणांक गैर-शून्य होने चाहिए।

2)     भाग दो (प्रणाली की स्थिरता के लिए पर्याप्त शर्त): पहले राउथ अरेको निर्माण करें। राउथ अरेको निर्माण करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

पहली पंक्ति विशेष गुणनखंड समीकरण के सभी सम शब्दों से बनी होगी। उन्हें पहले (सम शब्द) से अंतिम (सम शब्द) तक व्यवस्थित करें। पहली पंक्ति नीचे लिखी गई है: a0 a2 a4 a6…………

दूसरी पंक्ति विशेष गुणनखंड समीकरण के सभी विषम शब्दों से बनी होगी। उन्हें पहले (विषम शब्द) से अंतिम (विषम शब्द) तक व्यवस्थित करें। पहली पंक्ति नीचे लिखी गई है: a1 a3 a5 a7………..

तीसरी पंक्ति के तत्व इस प्रकार गणना किए जा सकते हैं:

पहला तत्व : a0 को अगले स्तंभ (a3) के विकर्णतः विपरीत तत्व से गुणा करें, फिर इसे a1 और a2 (जहाँ a2 अगले स्तंभ का विकर्णतः विपरीत तत्व है) के गुणनफल से घटाएं और फिर अंतिम परिणाम को a1 से विभाजित करें। गणितीय रूप से हम पहला तत्व इस प्रकार लिखते हैं

दूसरा तत्व : a0 को अगले-अगले स्तंभ (a5) के विकर्णतः विपरीत तत्व से गुणा करें, फिर इसे a1 और a4 (जहाँ, a4 अगले-अगले स्तंभ का विकर्णतः विपरीत तत्व है) के गुणनफल से घटाएं और फिर अंतिम परिणाम को a1 से विभाजित करें। गणितीय रूप से हम दूसरा तत्व इस प्रकार लिखते हैं

इसी तरह, हम तीसरी पंक्ति के सभी तत्वों की गणना कर सकते हैं।

(d) चौथी पंक्ति के तत्वों की गणना निम्नलिखित प्रक्रिया द्वारा की जा सकती है:

पहला तत्व : b1 को अगले स्तंभ (a3) के विकर्णतः विपरीत तत्व से गुणा करें, फिर इसे a1 और b2 (जहाँ, b2 अगले स्तंभ का विकर्णतः विपरीत तत्व है) के गुणनफल से घटाएं और फिर अंतिम परिणाम को b1 से विभाजित करें। गणितीय रूप से हम पहला तत्व इस प्रकार लिखते हैं

 (2) दूसरा तत्व : b1 को अगले-अगले स्तंभ (a5) के विकर्णतः विपरीत तत्व से गुणा करें, फिर इसे a1 और b3 (जहाँ, b3 अगले-अगले स्तंभ का विकर्णतः विपरीत तत्व है) के गुणनफल से घटाएं और फिर अंतिम परिणाम को a1 से विभाजित करें। गणितीय रूप से हम दूसरा तत्व इस प्रकार लिखते हैं

इसी तरह, हम चौथी पंक्ति के सभी तत्वों की गणना कर सकते हैं।

इसी तरह, हम सभी पंक्तियों के सभी तत्वों की गणना कर सकते हैं।

स्थिरता मानदण्ड: यदि पहले स्तंभ के सभी तत्व सकारात्मक हैं, तो प्रणाली स्थिर होगी। हालांकि, यदि उनमें से कोई ऋणात्मक है, तो प्रणाली अस्थिर होगी।

अब राउथ स्थिरता मानदण्ड से संबंधित कुछ विशेष मामले नीचे चर्चा किए गए हैं:

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