Routh Hurwitz Stabilitetskriterium

Routh-Hurwitz stabilitetskriteriums definition

Det är en metod för att bestämma systemets stabilitet med hjälp av karakteristiska ekvationen.

Hurwitz-kriteriet

Med hjälp av karakteristiska ekvationen kan vi skapa flera Hurwitz-determinanter för att bestämma systemets stabilitet. Systemets karakteristiska ekvation definieras som följer:

Det finns n determinanter för en n:te ordningens karakteristisk ekvation.

Här är hur man skriver determinanter från koefficienterna i den karakteristiska ekvationen. Följ dessa steg för en k:te ordningens karakteristisk ekvation:

Determinant ett : Värdet på denna determinant ges av |a1| där a1 är koefficienten för sn-1 i den karakteristiska ekvationen.

Determinant två : Värdet på denna determinant ges av

Här är antalet element i varje rad lika med determinanten och vi har determinant nummer två här. Den första raden består av de första två udda koefficienterna och den andra raden består av de första två jämna koefficienterna.

Determinant tre : Värdet på denna determinant ges av

Här är antalet element i varje rad lika med determinanten och vi har determinant nummer tre. Den första raden består av de första tre udda koefficienterna, den andra raden består av de första tre jämna koefficienterna och den tredje raden består av det första elementet som är noll och resten av de två elementen som är de första två udda koefficienterna.

Determinant fyra: Värdet på denna determinant ges av,

Här är antalet element i varje rad lika med determinanten och vi har determinant nummer fyra. Den första raden består av de första fyra koefficienterna, den andra raden består av de första fyra jämna koefficienterna, den tredje raden består av det första elementet som är noll och resten av de tre elementen som är de första tre udda koefficienterna, den fjärde raden består av det första elementet som är noll och resten av de tre elementen som är de första tre jämna koefficienterna.

Genom att följa samma procedur kan vi generalisera determinantens formation. Den generella formen av determinanten ges nedan:

För att kontrollera systemets stabilitet, beräkna värdet av varje determinant. Systemet är stabilt om varje determinant är positiv. Om någon determinant inte är positiv, är systemet instabilt.

Routh-stabilitetskriteriet

Detta kriterium är också känt som det modifierade Hurwitz-kriteriet för systemets stabilitet. Vi kommer att studera detta kriterium i två delar. Del ett kommer att täcka nödvändiga villkor för systemets stabilitet och del två kommer att täcka tillräckliga villkor för systemets stabilitet. Låt oss återigen överväga systemets karakteristiska ekvation som

1)     Del ett (nödvändiga villkor för systemets stabilitet): Här har vi två villkor som anges nedan:

• Alla koefficienter i den karakteristiska ekvationen bör vara positiva och reella.

• Alla koefficienter i den karakteristiska ekvationen bör vara nollskilda.

2)     Del två (tillräckliga villkor för systemets stabilitet): Låt oss först konstruera Routh-array. För att konstruera Routh-array, följ dessa steg:

Den första raden kommer att bestå av alla jämna termer i den karakteristiska ekvationen. Ordna dem från den första (jämna termen) till den sista (jämna termen). Den första raden skrivs nedan: a0 a2 a4 a6…………

Den andra raden kommer att bestå av alla udda termer i den karakteristiska ekvationen. Ordna dem från den första (udda termen) till den sista (udda termen). Den första raden skrivs nedan: a1 a3 a5 a7………..

Elementen i den tredje raden kan beräknas som:

Första elementet : Multiplicera a0 med diagonalt motsatta elementet i nästa kolumn (dvs. a3), subtrahera sedan detta från produkten av a1 och a2 (där a2 är diagonalt motsatta elementet i nästa kolumn) och dela sedan resultatet så erhållt med a1. Matematiskt skriver vi första elementet som

Andra elementet : Multiplicera a0 med diagonalt motsatta elementet i nästa till nästa kolumn (dvs. a5), subtrahera sedan detta från produkten av a1 och a4 (där a4 är diagonalt motsatta elementet i nästa till nästa kolumn) och dela sedan resultatet så erhållt med a1. Matematiskt skriver vi andra elementet som

På samma sätt kan vi beräkna alla element i den tredje raden.

(d) Elementen i den fjärde raden kan beräknas genom att använda följande procedur:

Första elementet : Multiplicera b1 med diagonalt motsatta elementet i nästa kolumn (dvs. a3), subtrahera sedan detta från produkten av a1 och b2 (där b2 är diagonalt motsatta elementet i nästa kolumn) och dela sedan resultatet så erhållt med b1. Matematiskt skriver vi första elementet som

 (2) Andra elementet : Multiplicera b1 med diagonalt motsatta elementet i nästa till nästa kolumn (dvs. a5), subtrahera sedan detta från produkten av a1 och b3 (där b3 är diagonalt motsatta elementet i nästa till nästa kolumn) och dela sedan resultatet så erhållt med a1. Matematiskt skriver vi andra elementet som

På samma sätt kan vi beräkna alla element i den fjärde raden.

På samma sätt kan vi beräkna alla element i alla rader.

Stabilitetskriteriet är att om alla element i den första kolumnen är positiva, då är systemet stabilt. Om något av dem är negativt, är systemet instabilt.

Nu finns det vissa specialfall relaterade till Routh-stabilitetskriteriet som diskuteras nedan:

Fall ett: Om det första elementet i någon rad i arrayen är noll, medan resten av raden har minst ett icke-noll-element. I detta fall antar vi ett mycket litet värde (ε) som närmar sig noll i stället för noll. Genom att ersätta noll med (ε) beräknar vi alla element i Routh-arrayen. 

Efter att ha beräknat alla element applicerar vi gränsen vid varje element som innehåller (ε). När vi löser gränsen för varje element, om vi får ett positivt gränsvärde, säger vi att det givna systemet är stabilt, annars säger vi att det givna systemet är instabilt i alla andra fall.

Fall två : När alla element i någon rad i Routh-arrayen är noll. I detta fall kan vi säga att systemet har symtom på marginal stabilitet. Låt oss först förstå den fysiska betydelsen av att ha alla element noll i någon rad. 

Den fysiska betydelsen är att det finns symmetriskt placerade rötter i den karakteristiska ekvationen i s-planen. Nu, för att hitta stabiliteten i detta fall, ska vi först hitta den auxiliära ekvationen. Auxiliär ekvation kan bildas genom att använda elementen i raden precis ovanför raden med nollor i Routh-arrayen. Efter att ha hittat den auxiliära ekvationen deriverar vi den auxiliära ekvationen för att få elementen i nollraden. 

Om det inte finns någon teckenändring i den nya Routh-arrayen som bildats med hjälp av den auxiliära ekvationen, säger vi att det givna systemet är begränsat stabilt. I alla andra fall säger vi att det givna systemet är instabilt.