Zeitbereichsanalyse des Steuerungssystems
In einem Regelkreis können Energie speichernde Elemente angebracht sein. Energie speichernde Elemente sind in der Regel Spulen und Kondensatoren bei elektrischen Systemen. Aufgrund der Anwesenheit dieser Energie speichernden Elemente wird, wenn der Energiezustand des Systems gestört wird, eine bestimmte Zeit benötigt, um von einem Energiezustand zum anderen zu wechseln. Die genaue Zeit, die das System für den Wechsel von einem Energiezustand zum anderen benötigt, wird als Übergangszeit bezeichnet, und der Wert und das Muster der Spannungen und Stromstärken während dieser Periode werden als Übergangsantwort bezeichnet.
Eine Übergangsantwort ist normalerweise mit einer Schwingung verbunden, die entweder nachhaltig oder abklingend sein kann. Die genaue Natur des Systems hängt von den Parametern des Systems ab. Jedes System kann durch eine lineare Differentialgleichung dargestellt werden. Die Lösung dieser linearen Differentialgleichung gibt die Antwort des Systems. Die Darstellung eines Regelkreises durch eine lineare Differentialgleichung von Funktionen der Zeit und deren Lösung wird gemeinsam als Zeitbereichsanalyse des Regelkreises bezeichnet.
Stufenfunktion
Nehmen wir einen unabhängigen Spannungsquelle oder eine Batterie, die über einen Schalter s an ein Voltmeter angeschlossen ist. Es ist aus der Abbildung unten klar, dass, wenn der Schalter s offen ist, die Spannung zwischen den Voltmeteranschlüssen Null ist. Wenn die Spannung zwischen den Voltmeteranschlüssen als v (t) dargestellt wird, kann die Situation mathematisch dargestellt werden als
Nun betrachten wir, dass bei t = 0 der Schalter geschlossen wird und sofort die Batteriespannung V Volt am Voltmeter erscheint, und diese Situation kann dargestellt werden als,
Die Kombination der beiden obigen Gleichungen ergibt
In den obigen Gleichungen erhalten wir, wenn wir 1 anstelle von V einsetzen, eine Einheitsstufenfunktion, die definiert werden kann als
Nun untersuchen wir die Laplace-Transformation der Einheitsstufenfunktion. Die Laplace-Transformation jeder Funktion kann erhalten werden, indem diese Funktion mit e-st multipliziert und das Produkt von 0 bis Unendlich integriert wird.
Abbildung 6.2.1
Wenn die Eingabe R(s) ist, dann
Rampenfunktion
Die Funktion, die durch eine geneigte Gerade dargestellt wird, die den Ursprung schneidet, wird als Rampenfunktion bezeichnet. Das bedeutet, dass diese Funktion bei Null beginnt und linear mit der Zeit zunimmt oder abnimmt. Eine Rampenfunktion kann dargestellt werden als,
In dieser Gleichung ist k die Steigung der Linie.
Abbildung 6.2.2
Nun untersuchen wir die Laplace-Transformation der Rampenfunktion. Wie bereits erwähnt, kann die Laplace-Transformation jeder Funktion erhalten werden, indem diese Funktion mit e-st multipliziert und das Produkt von 0 bis Unendlich integriert wird.
Parabolische Funktion
Hier ist der Funktionswert Null, wenn die Zeit t<0, und quadratisch, wenn die Zeit t > 0. Eine parabolische Funktion kann definiert werden als,
Nun untersuchen wir die Laplace-Transformation der parabolischen Funktion. Wie bereits erwähnt, kann die Laplace-Transformation jeder Funktion erhalten werden, indem diese Funktion mit e-st multipliziert und das Produkt von 0 bis Unendlich integriert wird.
Abbildung 6.2.3
Impulsfunktion
Ein Impulssignal entsteht, wenn die Eingabe plötzlich auf das System für eine infinitesimal kurze Zeit angewendet wird. Der Verlauf eines solchen Signals wird als Impulsfunktion dargestellt. Wenn die Größe dieser Funktion eins ist, wird die Funktion als Einheitsimpulsfunktion bezeichnet. Die erste zeitliche Ableitung der Stufenfunktion ist die Impulsfunktion. Daher ist die Laplace-Transformation der Einheitsimpulsfunktion nichts anderes als die Laplace-Transformation der ersten zeitlichen Ableitung der Einheitsstufenfunktion.
Abbildung 6.2.4
Zeitverhalten erster Ordnung Regelsysteme
Wenn die maximale Potenz von s im Nenner der Übertragungsfunktion eins ist, repräsentiert die Übertragungsfunktion ein Regelsystem erster Ordnung. Häufig kann ein Regelsystem erster Ordnung dargestellt werden als
Zeitverhalten für Stufenfunktion
Nun wird dem System eine Einheitsstufenfunktion als Eingabe gegeben, dann analysieren wir den Ausdruck der Ausgabe:
Abbildung 6.3.2Aus der Fehlerequation ist zu erkennen, dass, wenn die Zeit gegen Unendlich geht, das Ausgabesignal exponentiell den stationären Wert von einer Einheit erreicht. Da das Ausgangssignal exponentiell gegen die Eingabe strebt, ist der stationäre Fehler Null, wenn die Zeit gegen Unendlich geht.
Setzen wir t = T in die Ausgabegleichung, dann erhalten wir,
Dieses T wird als Zeitkonstante der Antwort definiert, und die Zeitkonstante eines Antwortsignals ist die Zeit, in der das Signal 63,2 % seines Endwerts erreicht. Setzen wir nun t = 4T in die obige Ausgabegleichung, dann erhalten wir,
Wenn der tatsächliche Wert der Antwort 98 % des gewünschten Werts erreicht, dann wird das Signal als in seinen stationären Zustand eingetreten bezeichnet. Diese erforderliche Zeit, um das Signal auf 98 % seines gewünschten Werts zu bringen, wird als Einstellzeit bezeichnet und die Einstellzeit ist viermal so groß wie die Zeitkonstante der Antwort. Der Zustand der Antwort vor der Einstellzeit wird als Übergangszustand und der Zustand der Antwort nach der Einstellzeit wird als stationärer Zustand bezeichnet. Aus dieser Erklärung ist klar, dass, wenn die Zeitkonstante des Systems kleiner ist, die Antwort des Systems schneller in ihren stationären Zustand übergeht.
Zeitverhalten für Rampenfunktion
In diesem Fall fällt das Ausgabesignal während des stationären Zustands hinter das Eingabesignal um eine Zeit, die gleich der Zeitkonstante des Systems ist. Wenn die Zeitkonstante des Systems kleiner ist, wird der Positionierungsfehler der Antwort geringer.
