Tidsdomenanalyse av kontrollsystem
I et kontrollsystem kan det være noen energilagringskomponenter tilknyttet. Energilagringskomponenter er generelt spoler og kondensatorer i et elektrisk system. På grunn av tilstedeværelsen av disse energilagringskomponentene, hvis energitilstanden i systemet blir forstyrret, vil det ta en viss tid å endre seg fra én energitilstand til en annen. Den nøyaktige tiden som systemet bruker på å endre fra én energitilstand til en annen, kalles overgangstid, og verdien og mønsteret av spenninger og strømmer under denne perioden kalles den overgangsvarige responsen.
En overgangsrespons er normalt forbundet med en svingning, som kan være vedvarende eller døende av natur. Den nøyaktige naturen av systemet avhenger av systemets parametre. Et hvilket som helst system kan representeres med en lineær differensialligning. Løsningen av denne lineære differensialligningen gir systemets respons. Representasjonen av et kontrollsystem ved hjelp av en lineær differensialligning av funksjoner av tid og dens løsning kalles sammen tidsdomenanalyse av kontrollsystemet.
Trinnfunksjon
La oss ta en uavhengig spenningskilde eller en batteri som er koblet over en spenningmåler via en bryter, s. Det er klart fra figuren nedenfor, at hver gang bryteren s er åpen, spenningen som oppstår mellom spenningmålernas terminaler er null. Hvis spenningen mellom spenningmålernas terminaler representeres som v (t), kan situasjonen matematisk representeres som
Nå la oss betrakte at t = 0, bryteren lukkes, og umiddelbart batterispennen V volt oppstår over spenningmåleren, og denne situasjonen kan representeres som,
Ved å kombinere de to ovennevnte ligningene får vi
I de ovennevnte ligningene, hvis vi setter 1 i stedet for V, vil vi få en enhetstrinnfunksjon som kan defineres som
Nå la oss undersøke Laplace-transformasjonen av enhetstrinnfunksjon. Laplace-transformasjonen av en hvilken som helst funksjon kan oppnås ved å multiplisere denne funksjonen med e-st og integrere multiplikasjonen fra 0 til uendelig.
Fig 6.2.1
Hvis inngangen er R(s), da
Rampefunksjon
Funksjonen som representeres av en skrå rett linje som krysser origo, kalles rampefunksjon. Dette betyr at denne funksjonen starter fra null og øker eller minker lineært med tid. En rampefunksjon kan representeres som,
Her i denne ovennevnte ligningen, er k hellingen på linjen.
Fig 6.2.2
Nå la oss undersøke Laplace-transformasjonen av rampefunksjon. Som vi sa tidligere, kan Laplace-transformasjonen av en hvilken som helst funksjon oppnås ved å multiplisere denne funksjonen med e-st og integrere multiplikasjonen fra 0 til uendelig.
Parabelfunksjon
Her er funksjonsverdien null når tid t<0 og kvadratisk når tid t > 0. En parabelfunksjon kan defineres som,
Nå la oss undersøke Laplace-transformasjonen av parabelfunksjon. Som vi sa tidligere, kan Laplace-transformasjonen av en hvilken som helst funksjon oppnås ved å multiplisere denne funksjonen med e-st og integrere multiplikasjonen fra 0 til uendelig.
Fig 6.2.3
Impulsfunksjon
Impuls-signal produseres når inngang plutselig anvendes på systemet i en ubetydelig varighet av tid. Bølgeformen av et slik signal representeres som impulsfunksjon. Hvis størrelsen på slik funksjon er enhet, kalles funksjonen for enhetsimpulsfunksjon. Første tidsderivert av trinnfunksjon er impulsfunksjon. Derfor er Laplace-transformasjonen av enhetsimpulsfunksjon ikke noe annet enn Laplace-transformasjonen av første tidsderivert av enhetstrinnfunksjon.
Fig 6.2.4
Tidsrespons av førstegrads kontrollsystemer
Når maksimal potens av s i nevneren av en overføringsfunksjon er en, representerer overføringsfunksjonen et førstegrads kontrollsystem. Vanligvis kan et førstegrads kontrollsystem representeres som
Tidsrespons for trinnfunksjon
Nå gis det en enhetstrinninngang til systemet, da la oss analysere uttrykket for utgangen:
Fig 6.3.2Det seres fra feilligningen at hvis tiden nærmer seg uendelig, når utgangssignalet eksponensielt den stabile sluttestverdien på én enhet. Siden utgangen nærmer seg inngangen eksponensielt, er den stabile sluttestfeilen null når tiden nærmer seg uendelig.
La oss sette t = T i utgangsligningen, og da får vi,
Denne T defineres som tidskonstanten til responsen, og tidskonstanten til et responssignal er tiden som signalet bruker på å nå 63,2 % av sin endelige verdi. Nå hvis vi setter t = 4T i den ovennevnte utgangsresponsligningen, da får vi,
Når den faktiske verdien av responsen når 98 % av den ønskede verdien, sies signalet å ha nådd sin stabile tilstand. Denne nødvendige tiden for å nå signalet 98 % av den ønskede verdien kalles innstillingsperiode, og naturligvis er innstillingsperioden fire ganger tidskonstanten til responsen. Tilstanden til responsen før innstillingsperioden kalles overgangstilstand, og tilstanden til responsen etter innstillingsperioden kalles stabil tilstand. Fra denne forklaringen er det klart at hvis tidskonstanten i systemet er mindre, når responsen av systemet sin stabile tilstand raskere.
Tidsrespons for rampefunksjon
I dette tilfellet, under stabil tilstand, ligger utgangssignalet bak inngangssignalet med en tid lik tidskonstanten til systemet. Hvis tidskonstanten til systemet er mindre, blir posisjonsfeilen av responsen mindre.
