Kontrol Sisteminin Zaman Alanı Analizi

Bir kontrol sisteminde bazı enerji depolayan elemanlar bulunabilir. Enerji depolayan elemanlar genellikle bir elektrik sistemi için indüktörler ve kondansatörlerdir. Bu enerji depolayan elemanların varlığı nedeniyle, eğer sistemin enerji durumu bozulursa, bir enerji durumundan diğerine geçmek için belirli bir süre gerekmektedir. Sistemin bir enerji durumundan diğerine geçişte aldığı tam zaman geçici zaman olarak bilinir ve bu dönemdeki gerilim ve akım değerleri ve deseni geçici tepki olarak adlandırılır.

Geçici bir tepki genellikle bir titreşim ile ilişkilidir, bu titreşim sürekli veya azalan olabilir. Sistemin tam doğası sistemin parametrelerine bağlıdır. Herhangi bir sistem lineer bir diferansiyel denklemlerle temsil edilebilir. Bu lineer diferansiyel denklemin çözümü, sistemin tepkisini verir. Bir kontrol sisteminin bir lineer diferansiyel denklemi ve zaman fonksiyonlarının çözümünün toplamı, kontrol sisteminin zaman alan analizi olarak adlandırılır.

Aşama Fonksiyonu

Bağımsız bir gerilim kaynağı veya bir pil düşünün, bu gerilim kaynağı bir anahtarı aracılığıyla bir voltmetre ile bağlantılıdır. Aşağıdaki şemadan anlaşılacağı üzere, anahtar açıkken voltmetre uçları arasındaki gerilim sıfırdır. Eğer voltmetre uçları arasındaki gerilim v (t) ile gösterilirse, durum matematiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir:

Şimdi t = 0 anında anahtarı kapatalım ve hemen pil gerilimi V volt voltmetre arasında ortaya çıkar, bu durum şu şekilde ifade edilebilir:

Yukarıdaki iki denklemi birleştirerek elde ederiz

Yukarıdaki denklemlerde, V yerine 1 koyduğumuzda birim adım fonksiyonunu elde ederiz. Bu fonksiyon şöyle tanımlanabilir

Şimdi birim adım fonksiyonunun Laplace dönüşümünü inceleyelim. Herhangi bir fonksiyonun Laplace dönüşümü, bu fonksiyonun e-st ile çarpılması ve çarpımın 0'dan sonsuza kadar entegrasyonu ile elde edilebilir.
Şekil 6.2.1

Giriş R(s) ise

Rampa Fonksiyonu

Sıfır noktasından geçen eğik bir doğru ile temsil edilen fonksiyona rampa fonksiyonu denir. Yani bu fonksiyon sıfırdan başlayarak zamanla doğrusal olarak artar veya azalır. Bir rampa fonksiyonu şu şekilde ifade edilebilir,

Burada yukarıdaki denklemde, k doğrunun eğimidir.
Şekil 6.2.2
Şimdi rampa fonksiyonunun Laplace dönüşümünü inceleyelim. Daha önce söylediğimiz gibi herhangi bir fonksiyonun Laplace dönüşümü, bu fonksiyonun e-st ile çarpılması ve çarpımın 0'dan sonsuza kadar entegrasyonu ile elde edilebilir.

Parabolik Fonksiyon

Burada, t<0 olduğunda fonksiyonun değeri sıfır ve t>0 olduğunda karesel olur. Bir parabolik fonksiyon şu şekilde tanımlanabilir,

Şimdi parabolik fonksiyonun Laplace dönüşümünü inceleyelim. Daha önce söylediğimiz gibi herhangi bir fonksiyonun Laplace dönüşümü, bu fonksiyonu e-st ile çarparak ve 0'dan sonsuzluğa kadar çarpımı entegre ederek elde edilebilir.
Şekil 6.2.3

Tepki Fonksiyonu

Darbe sinyali, girişin sisteme sonsuz küçük bir süre için birden uygulanmasıyla oluşur. Bu tür sinyalin dalga formu, darbe fonksiyonu olarak temsil edilir. Eğer bu fonksiyonun büyüklüğü birse, o zaman fonksiyona birim darbe fonksiyonu denir. Adım fonksiyonunun ilk zaman türevi darbe fonksiyonudur. Bu nedenle, birim darbe fonksiyonunun Laplace dönüşümü, birim adım fonksiyonunun ilk zaman türevinin Laplace dönüşümüdür.
Şekil 6.2.4

Birinci Derece Kontrol Sistemlerinin Zaman Tepkisi

Bir aktarım fonksiyonun paydasındaki s'nin en büyük kuvveti bir olduğunda, aktarım fonksiyonu birinci derece kontrol sistemini temsil eder. Genellikle, birinci derece kontrol sistemi şu şekilde temsil edilebilir

Adım Fonksiyonu İçin Zaman Tepkisi

Şimdi birim adım girdisi sisteme verildiğinde, çıkış ifadesini analiz edelim:

Şekil 6.3.2 Hata denkleminden, zaman sonsuza yaklaştıkça, çıkış sinyali üssel olarak bir birimlik durağan değerine ulaşır. Çıkış üssel olarak girdiye yaklaşırken, zaman sonsuza yaklaştıkça durağan hata sıfırdır.

Çıkış denklemine t = T koyalım ve şunu elde edelim,

Bu T, tepkinin zaman sabiti olarak tanımlanır ve tepki sinyalinin zaman sabiti, sinyalin nihai değerinin %63.2'sine ulaşmak için geçen zamandır. Şimdi yukarıdaki çıkış tepki denklemine t = 4T koyarsak, şunu elde ederiz,

Gerçek tepki değeri, istenen değerinin %98'ine ulaştığında, sinyal durağan durumuna ulaştığı söylenir. Bu, sinyalin istenen değerinin %98'ine ulaşması için gereken süreye ayarlama süresi denir ve doğal olarak ayarlama süresi tepkinin zaman sabitinin dört katıdır. Ayarlamadan önceki tepki durumu geçici durum olarak, ayarlamadan sonraki tepki durumu durağan durum olarak bilinir. Bu açıklamadan, sistemin zaman sabiti daha küçükse, sistemin tepkisinin durağan duruma daha hızlı ulaşacağı anlaşılır.

Rampa Fonksiyonu için Zaman Tepkisi

Bu durumda, durağan durum sırasında, çıkış sinyali sistem zaman sabitine eşit bir süreyle girdi sinyalinin gerisinde kalır. Sistemin zaman sabiti daha küçükse, tepkinin pozisyonel hatası daha az olur.

İmpuls Fonksiyonu için Zaman Tepkisi

Yukarıdaki kontrol sistemi zaman tepkisi açıklamasında, adım fonksiyonunun rampa fonksiyonunun birinci türevi olduğunu ve impuls fonksiyonunun adım fonksiyonunun birinci türevi olduğunu gördük. Ayrıca, adım fonksiyonunun zaman tepkisinin rampa fonksiyonunun zaman tepkisinin birinci türevi olduğunu ve impuls fonksiyonunun zaman tepkisinin adım fonksiyonunun zaman tepkisinin birinci türevi olduğunu bulduk.

Açıklama: Orijinali saygıya almak, paylaşmaya değer iyi makaleler, ayrıcalık varsa lütfen silme isteği ile iletişime geçiniz.