کنٹرول سسٹم کا ٹائم ڈومین تجزیہ

کنٹرول سسٹم میں کچھ توانائی کے ذخیرہ عناصر ملحق ہو سکتے ہیں۔ توانائی کے ذخیرہ عناصر عام طور پر الیکٹریکل سسٹم کے مطالعہ میں انڈکٹرز اور کیپیسٹرز ہوتے ہیں۔ ان توانائی کے ذخیرہ عناصر کی موجودگی کی وجہ سے، اگر سسٹم کی توانائی کا حالت برقرار رہنے کی حالت میں اختلال ہو جائے تو، یہ مخصوص وقت لے کر ایک توانائی کے حالت سے دوسرے توانائی کے حالت میں تبدیل ہوجائے گا۔ سسٹم کے ایک توانائی کے حالت سے دوسرے توانائی کے حالت میں تبدیل ہونے کے لیے لیا گیا کامیاب وقت کو ترانسینٹ وقت کہا جاتا ہے اور اس دوران ولٹیج اور کرنٹ کی قدر اور نمونہ کو ترانسینٹ ریسپونس کہا جاتا ہے۔

ترانسینٹ ریسپونس عام طور پر ایک آنسو کے ساتھ وابستہ ہوتا ہے، جس کی مطابقت یا کم ہونے کی طبیعت ہو سکتی ہے۔ سسٹم کی حقیقی قسم سسٹم کے پیرامیٹرز پر منحصر ہوتی ہے۔ کوئی بھی سسٹم ایک لکیری دفرنشل ایکشن کے ذریعے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس لکیری دفرنشل ایکشن کا حل سسٹم کا ریسپونس دیتا ہے۔ کنٹرول سسٹم کی توانائی کے حوالے سے لکیری دفرنشل ایکشن کا ظاہر کرنے اور اس کا حل کرنے کو ملکیتی طور پر کنٹرول سسٹم کا زمانی تجزیہ کہا جاتا ہے۔

ایکڑ فنکشن

آئیے ایک مستقل ولٹیج سرس یا بیٹری لیں جسے ایک ولٹیج میٹر کے ذریعے ایک سوچ سے جڑا ہوا ہے۔ واضح ہے کہ جب سوچ کھلی ہوتی ہے تو ولٹیج میٹر کے درمیان ولٹیج صفر ہوتا ہے۔ اگر ولٹیج میٹر کے درمیان ولٹیج کو v (t) کے طور پر ظاہر کیا جائے تو، اس صورتحال کو ریاضیاتی طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے

اب ہم t = 0 پر سوچ کو بند کرتے ہیں اور فوراً بیٹری ولٹیج V ولٹ ولٹیج میٹر کے درمیان ظاہر ہوتا ہے اور اس صورتحال کو ظاہر کیا جا سکتا ہے،

اوپر والی دونوں مساوات کو ملا کر ہم کو ملتا ہے

اوپر والی مساوات میں اگر ہم V کی جگہ 1 رکھیں تو، ہم ایک یونٹ اسٹیپ فنکشن کو تعریف کر سکتے ہیں جس کی تعریف کی جا سکتی ہے

اب ہم یونٹ اسٹیپ فنکشن کا لاپلاس تبدیلی کا جائزہ لیں۔ کسی بھی فنکشن کا لاپلاس تبدیلی اس فنکشن کو e-st سے ضرب دے کر اور ضرب کو 0 سے لامتناہی تک کے درمیان تکامل کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے۔
شکل 6.2.1

اگر ان پٹ R(s) ہے تو

رامپ فنکشن

وہ فنکشن جو مائل خط کی شکل میں مبدا سے ملتا ہے اسے رامپ فنکشن کہا جاتا ہے۔ یعنی یہ فنکشن صفر سے شروع ہوتا ہے اور وقت کے ساتھ لکیری طور پر بڑھتا یا گر جاتا ہے۔ ایک رامپ فنکشن کو ظاہر کیا جا سکتا ہے،

اس اوپر والی مساوات میں، k خط کی مائل ہے۔
شکل 6.2.2
اب ہم رامپ فنکشن کا لاپلاس تبدیلی کا جائزہ لیں۔ جیسے ہم پہلے کہ چکے ہیں کہ کسی بھی فنکشن کا لاپلاس تبدیلی اس فنکشن کو e-st سے ضرب دے کر اور ضرب کو 0 سے لامتناہی تک کے درمیان تکامل کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے۔

پارابولک فنکشن

یہاں، وقت t<0 پر فنکشن کی قدر صفر ہوتی ہے اور وقت t > 0 پر یہ مربعی ہوتا ہے۔ ایک پارابولک فنکشن کو تعریف کیا جا سکتا ہے،

اب ہم پارابولک فنکشن کا لاپلاس تبدیلی کا جائزہ لیں۔ جیسے ہم پہلے کہ چکے ہیں کہ کسی بھی فنکشن کا لاپلاس تبدیلی اس فنکشن کو e-st سے ضرب دے کر اور ضرب کو 0 سے لامتناہی تک کے درمیان تکامل کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے۔
شکل 6.2.3

انپالس فنکشن

انپالس سگنل تیار ہوتا ہے جب ان پٹ کو سسٹم کو ناگہانی طور پر بہت کم وقت کے لیے لگایا جاتا ہے۔ ایسے سگنل کی ویو فارم کو انپالس فنکشن کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر ایسے فنکشن کی مقدار اکائی ہے تو، تو فنکشن کو اکائی انپالس فنکشن کہا جاتا ہے۔ اسٹیپ فنکشن کا پہلا وقت کا مشتق انپالس فنکشن ہوتا ہے۔ اس لیے اکائی انپالس فنکشن کا لاپلاس تبدیلی کسی بھی وقت کے پہلے مشتق کا لاپلاس تبدیلی ہی ہے۔
شکل 6.2.4

پہلے درجہ کنٹرول سسٹمز کا وقت کا ریسپونس

جب ٹرانسفر فنکشن کے نامینیٹر میں s کی سب سے زیادہ طاقت ایک ہوتی ہے، تو ٹرانسفر فنکشن پہلے درجہ کنٹرول سسٹم کی نمائندگی کرتا ہے۔ عام طور پر، پہلے درجہ کنٹرول سسٹم کو ظاہر کیا جا سکتا ہے

ایکڑ فنکشن کا وقت کا ریسپونس

اب اگر سسٹم کو ایک اکائی اسٹیپ ان پٹ دیا جائے تو، پھر ہم آؤٹ پٹ کی اظہار کو تجزیہ کرتے ہیں:

شکل 6.3.2 غلطی کی مساوات سے یہ معلوم ہوتا ہے کہ اگر وقت بیشمار کی طرف جاتا ہے تو، آؤٹ پٹ سگنل کامیابی سے ایک اکائی کی استحکامی قدر تک پہنچتا ہے۔ آؤٹ پٹ ان پٹ کی طرف کامیابی سے پہنچتا ہے، اس لیے وقت کی طرف بیشمار کی طرف جاتا ہے تو استحکامی غلطی صفر ہوتی ہے۔

آؤٹ پٹ کی مساوات میں t = T رکھیں تو ہم کو ملتا ہے،

یہ T کو ریسپونس کا وقت کا دائم تعریف کیا جاتا ہے اور ریسپونس سگنل کا وقت کا دائم وہ وقت ہے جس کے لیے سگنل اپنی آخری قدر کے 63.2 % تک پہنچتا ہے۔ اب اگر ہم اوپر والی آؤٹ پٹ ریسپونس کی مساوات میں t = 4T رکھیں تو ہم کو ملتا ہے،

جب حقیقی قدر آؤٹ پٹ کا 98% پہنچ جاتی ہے تو، سگنل کو استحکامی حالت کا کہا جاتا ہے۔ یہ وقت 98% کی مطلوبہ قدر تک پہنچنے کے لیے مطلوب ہوتا ہے جسے سیٹنگ ٹائم کہا جاتا ہے اور طبیعتی طور پر سیٹنگ ٹائم ریسپونس کے وقت کے دائم کا چار گنا ہوتا ہے۔ ریسپونس کی حالت سیٹنگ ٹائم سے قبل ترانسینٹ حالت کہلاتی ہے اور سیٹنگ ٹائم کے بعد ریسپونس کی حالت استحکامی حالت کہلاتی ہے۔ اس توضیح سے یہ واضح ہوتا ہے کہ اگر سسٹم کا وقت کا دائم چھوٹا ہو تو، سسٹم کا ریسپونس تیزی سے اپنی استحکامی حالت تک پ