تحليل المجال الزمني لنظام التحكم

في نظام التحكم، قد يكون هناك بعض العناصر المخزنة للطاقة مرفقة به. عادة ما تكون هذه العناصر المخزنة للطاقة هي المكثفات والملفوفات الكهربائية في حالة النظام الكهربائي. بسبب وجود هذه العناصر المخزنة للطاقة، إذا اضطربت حالة الطاقة لنظام، فسيستغرق وقتًا معينًا لتغيير من حالة طاقة إلى أخرى. الوقت الدقيق الذي يستغرقه النظام لتغيير حالة الطاقة من واحدة إلى أخرى يُعرف بالوقت الانتقالي، والقيمة والنمط الجهد والتيار خلال هذا الفترة يُعرف بالرد الفعلي الانتقالي.

عادة ما يرتبط الرد الفعلي الانتقالي باهتزاز، قد يكون مستدامًا أو متلاشيًا بطبيعته. تعتمد الطبيعة الدقيقة للنظام على معلماته. يمكن تمثيل أي نظام بمقدار تفاضلي خطي. حل هذا المعادلة التفاضلية الخطي يعطي رد فعل النظام. يتم تمثيل نظام التحكم بواسطة معادلة تفاضلية خطية لدوال الوقت وحلها بشكل جماعي يسمى تحليل المجال الزمني لنظام التحكم.

دالة الخطوة

لنأخذ مصدر جهد مستقل أو بطارية متصلة عبر فولتميتر عبر مفتاح، s. من الواضح من الشكل أدناه، كلما كان المفتاح s مفتوحًا، فإن الجهد الذي يظهر بين أطراف الفولتميتر هو صفر. إذا تم تمثيل الجهد بين أطراف الفولتميتر ك v (t)، يمكن تمثيل الوضع رياضيًا كما يلي

الآن دعنا نفترض أن عند t = 0، يتم إغلاق المفتاح ويظهر فورًا جهد البطارية V فولت عبر الفولتميتر ويمكن تمثيل ذلك كـ

بجمع المعادلتين أعلاه نحصل على

في المعادلات أعلاه إذا وضعنا 1 بدلاً من V، سنحصل على دالة الخطوة الوحدوية والتي يمكن تعريفها كـ

الآن دعنا نفحص تحويل لابلاس لدالة الخطوة الوحدوية. يمكن الحصول على تحويل لابلاس لأي دالة عن طريق ضرب هذه الدالة في e-st وتكامل الناتج من 0 إلى اللانهاية.
الشكل 6.2.1

إذا كان الإدخال R(s)، فإن

دالة المنحدر

تعتبر الدالة التي يتم تمثيلها بواسطة خط مستقيم مائل يتقاطع مع الأصل كدالة المنحدر. وهذا يعني أن هذه الدالة تبدأ من الصفر وتزداد أو تنقص بشكل خطي مع مرور الوقت. يمكن تمثيل دالة المنحدر كـ

في هذه المعادلة أعلاه، k هو ميل الخط.
الشكل 6.2.2
الآن دعنا نفحص تحويل لابلاس لدالة المنحدر. كما ذكرنا سابقًا، يمكن الحصول على تحويل لابلاس لأي دالة عن طريق ضرب هذه الدالة في e-st وتكامل الناتج من 0 إلى اللانهاية.

دالة القطع المكافئ

في هذه الحالة، قيمة الدالة تساوي صفر عندما يكون الوقت t<0 وهي تربيعية عندما يكون الوقت t > 0. يمكن تعريف دالة القطع المكافئ كـ

الآن دعنا نفحص تحويل لابلاس لدالة القطع المكافئ. كما ذكرنا سابقًا، يمكن الحصول على تحويل لابلاس لأي دالة عن طريق ضرب هذه الدالة في e-st وتكامل الناتج من 0 إلى اللانهاية.
الشكل 6.2.3

دالة النبضة

يتم إنتاج إشارة النبضة عندما يتم تطبيق إدخال مفاجئ لنظام لمدة زمنية قصيرة جدا. يتم تمثيل شكل موجة مثل هذه الإشارة كدالة النبضة. إذا كانت قيمة هذه الدالة تساوي الوحدة، فإن الدالة تسمى دالة النبضة الوحدوية. المشتقة الأولى لدالة الخطوة هي دالة النبضة. لذا فإن تحويل لابلاس لدالة النبضة الوحدوية هو تحويل لابلاس للمشتقة الأولى لدالة الخطوة الوحدوية.
الشكل 6.2.4

رد فعل الزمن لنظم التحكم من الدرجة الأولى

عندما يكون القوة القصوى لـ s في مقام دالة التحويل هي واحد، فإن دالة التحويل تمثل نظام تحكم من الدرجة الأولى. عادة، يمكن تمثيل نظام التحكم من الدرجة الأولى كـ

رد فعل الزمن لدالة الخطوة

الآن يتم تقديم إدخال خطوة وحدوية للنظام، فلنحلل تعبير الإخراج:

الشكل 6.3.2
من معادلة الخطأ يتضح أنه إذا اقترب الوقت من اللانهاية، يصل الإشارة الخارجة بشكل أسّي إلى قيمة ثابتة تبلغ الوحدة. بما أن الإشارة الخارجة تتقارب نحو الإشارة الداخلة بشكل أسّي، فإن الخطأ الثابت يساوي صفر عندما يقترب الوقت من اللانهاية.

لنضع t = T في معادلة الإخراج ثم نحصل على

يُعرف هذا T بأنه ثابت زمن الرد، وثابت زمن الرد للإشارة هو الوقت الذي تصل فيه الإشارة إلى 63.2٪ من قيمتها النهائية. الآن إذا وضعنا t = 4T في معادلة الرد الخارجي أعلاه، فسنحصل على

عندما يصل القيمة الفعلية للرد الخارجي إلى 98٪ من القيمة المرغوبة، يقال إن الإشارة قد وصلت إلى حالتها الثابتة. يُعرف الوقت المطلوب للوصول إلى 98٪ من القيمة المرغوبة باسم زمن الاستقرار، ويكون زمن الاستقرار أربع مرات من ثابت زمن الرد للرد. الحالة قبل زمن الاستقرار تسمى الحالة الانتقالية والحالة بعد زمن الاستقرار تسمى الحالة الثابتة. من هذا الشرح، يتضح أن إذا كان ثابت زمن النظام أصغر، فإن الرد للنظام يصل إلى حالته الثابتة بشكل أسرع.

رد فعل الزمن لدالة المنحدر

في هذه الحالة، أثناء الحالة الثابتة، يتأخر الإشارة الخارجة عن الإشارة الداخلة بمدة تساوي ثابت زمن النظام. إذا كان ثابت زمن النظام أصغر، فإن الخطأ الموضعي للرد يصبح أقل.

رد فعل الزمن لدالة النبضة

في الشرح أعلاه لرد فعل الزمن لنظام التحكم، رأينا أن دالة الخطوة هي المشتقة الأولى لدالة المنحدر وأن دالة النبضة هي المشتقة الأولى لدالة الخطوة. كما تبين أيضًا أن رد فعل الزمن لدالة الخطوة هو المشتقة الأولى لرد فعل الزمن لدالة المنحدر وأن رد فعل الزمن لدالة النبضة هو المشتقة الأولى لرد فعل الزمن لدالة الخطوة.

بيان: احترم الأصل، المقالات الجيدة تستحق المشاركة، وإذا كان هناك انتهاك للحقوق يرجى التواصل لإزالته.