การวิเคราะห์โดเมนเวลาของระบบควบคุม

ในระบบควบคุมอาจมีองค์ประกอบที่เก็บพลังงานต่อพ่วงอยู่ องค์ประกอบที่เก็บพลังงานโดยทั่วไปคืออินดักเตอร์และคาปาซิเตอร์ในกรณีของระบบไฟฟ้า เนื่องจากมีองค์ประกอบที่เก็บพลังงานเหล่านี้ ถ้าสถานะพลังงานของระบบถูกทำให้เปลี่ยนแปลง มันจะใช้เวลาในการเปลี่ยนจากสถานะพลังงานหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง ระยะเวลาที่ระบบนั้นใช้ในการเปลี่ยนสถานะพลังงานเรียกว่าเวลาชั่วคราว และค่าและรูปแบบของแรงดันไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าในช่วงเวลานี้เรียกว่าการตอบสนองชั่วคราว

การตอบสนองชั่วคราวโดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับการสั่นสะเทือน ซึ่งอาจเป็นการสั่นสะเทือนที่คงที่หรือลดลงตามธรรมชาติ ลักษณะเฉพาะของระบบขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของระบบ ระบบใดๆ ก็สามารถแทนได้ด้วยสมการอนุพันธ์เชิงเส้น คำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นนี้จะให้การตอบสนองของระบบ การนำเสนอระบบควบคุมด้วยสมการอนุพันธ์เชิงเส้นของฟังก์ชันของเวลาและการแก้สมการนี้เรียกรวมกันว่าการวิเคราะห์ในโดเมนเวลาของระบบควบคุม.

ฟังก์ชันสเต็ป

ลองพิจารณาแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าอิสระหรือแบตเตอรี่ที่เชื่อมต่อกับโวลต์มิเตอร์ผ่านสวิตช์ s จากภาพด้านล่าง ขณะที่สวิตช์ s เปิด แรงดันระหว่างเทอร์มินอลของโวลต์มิเตอร์เป็นศูนย์ ถ้าแรงดันระหว่างเทอร์มินอลของโวลต์มิเตอร์แสดงเป็น v (t) สถานการณ์นี้สามารถแทนได้ทางคณิตศาสตร์ว่า

ตอนนี้ลองพิจารณาเมื่อ t = 0 สวิตช์ถูกปิดและแรงดัน V โวลต์ของแบตเตอรีปรากฏขึ้นที่โวลต์มิเตอร์และสถานการณ์นี้สามารถแทนได้ว่า,

รวมสมการทั้งสองข้างบนเราได้

ในสมการด้านบนหากเราใส่ 1 แทน V เราจะได้ฟังก์ชันสเต็ปหน่วย ซึ่งสามารถกำหนดได้ว่า

ตอนนี้ลองตรวจสอบการแปลงลาปลาซของฟังก์ชันสเต็ปหน่วย การแปลงลาปลาซของฟังก์ชันใดๆ สามารถได้มาจากการคูณฟังก์ชันนั้นด้วย e-st และทำการอินทิเกรตผลคูณนั้นจาก 0 ถึงอนันต์
รูปที่ 6.2.1

หากอินพุตคือ R(s) แล้ว

ฟังก์ชันแรมป์

ฟังก์ชันที่แสดงโดยเส้นตรงที่เอียงและตัดที่จุดกำเนิดเรียกว่าฟังก์ชันแรมป์ นั่นหมายความว่าฟังก์ชันนี้เริ่มจากศูนย์และเพิ่มหรือลดลงเชิงเส้นกับเวลา ฟังก์ชันแรมป์สามารถแทนได้ว่า,

ในสมการด้านบน k คือความชันของเส้น
รูปที่ 6.2.2
ตอนนี้ลองตรวจสอบการแปลงลาปลาซของฟังก์ชันแรมป์ เช่นเดียวกับที่เราบอกไว้ก่อนหน้านี้ การแปลงลาปลาซของฟังก์ชันใดๆ สามารถได้มาจากการคูณฟังก์ชันนั้นด้วย e-st และทำการอินทิเกรตผลคูณนั้นจาก 0 ถึงอนันต์

ฟังก์ชันพาราโบลา

ที่นี่ ค่าของฟังก์ชันเป็นศูนย์เมื่อเวลา t<0 และเป็นควอดราติกเมื่อเวลา t > 0 ฟังก์ชันพาราโบลาสามารถกำหนดได้ว่า,

ตอนนี้ลองตรวจสอบการแปลงลาปลาซของฟังก์ชันพาราโบลา เช่นเดียวกับที่เราบอกไว้ก่อนหน้านี้ การแปลงลาปลาซของฟังก์ชันใดๆ สามารถได้มาจากการคูณฟังก์ชันนั้นด้วย e-st และทำการอินทิเกรตผลคูณนั้นจาก 0 ถึงอนันต์
รูปที่ 6.2.3

ฟังก์ชันอิมพัลส์

สัญญาณอิมพัลส์ถูกสร้างขึ้นเมื่ออินพุตถูกนำไปใช้กับระบบอย่างกะทันหันเป็นระยะเวลาน้อยมาก รูปคลื่นของสัญญาณดังกล่าวแสดงเป็นฟังก์ชันอิมพัลส์ ถ้าขนาดของฟังก์ชันนั้นเป็นหน่วย ฟังก์ชันนั้นเรียกว่าฟังก์ชันอิมพัลส์หน่วย อนุพันธ์ครั้งแรกของฟังก์ชันสเต็ปคือฟังก์ชันอิมพัลส์ ดังนั้นการแปลงลาปลาซของฟังก์ชันอิมพัลส์หน่วยคือการแปลงลาปลาซของอนุพันธ์ครั้งแรกของฟังก์ชันสเต็ปหน่วย
รูปที่ 6.2.4

การตอบสนองเวลาของระบบควบคุมอันดับที่หนึ่ง

เมื่อเลขยกกำลังสูงสุดของ s ในตัวหารของฟังก์ชันการถ่ายโอนคือหนึ่ง ฟังก์ชันการถ่ายโอนนั้นแสดงถึงระบบควบคุมอันดับที่หนึ่ง โดยทั่วไป ระบบควบคุมอันดับที่หนึ่งสามารถแทนได้ว่า

การตอบสนองเวลาสำหรับฟังก์ชันสเต็ป

ตอนนี้ให้อินพุตสเต็ปหน่วยกับระบบ แล้วลองวิเคราะห์การแสดงออกของเอาต์พุต:

รูปที่ 6.3.2 จากสมการความผิดพลาด จะเห็นว่าเมื่อเวลาเข้าใกล้อนันต์ สัญญาณเอาต์พุตจะเข้าใกล้ค่าคงที่หนึ่งหน่วยแบบเอกซ์โพเนนเชียล เนื่องจากเอาต์พุตเข้าใกล้อินพุตแบบเอกซ์โพเนนเชียล ความผิดพลาดคงที่จะเป็นศูนย์เมื่อเวลาเข้าใกล้อนันต์

ลองใส่ t = T ในสมการเอาต์พุต และเราจะได้

T นี้ถูกกำหนดว่าเป็นค่าคงที่เวลาของการตอบสนอง และค่าคงที่เวลาของการตอบสนองสัญญาณคือเวลาที่สัญญาณเข้าถึง 63.2% ของค่าสุดท้าย ตอนนี้ถ้าเราใส่ t = 4T ในสมการการตอบสนองเอาต์พุตด้านบน เราจะได้

เมื่อค่าจริงของการตอบสนองเข้าถึง 98% ของค่าที่ต้องการ สัญญาณนั้นถือว่าเข้าสู่สภาพคงที่ ระยะเวลาที่จำเป็นในการเข้าถึง 98% ของค่าที่ต้องการเรียกว่าเวลาตั้งค่า และโดยธรรมชาติเวลาตั้งค่าเป็นสี่เท่าของค่าคงที่เวลาของการตอบสนอง สภาวะการตอบสนองก่อนเวลาตั้งค่าเรียกว่าสภาวะชั่วคราว และสภาวะการตอบสนองหลังเวลาตั้งค่าเรียกว่าสภาวะคงที่ จากคำอธิบายนี้ ชัดเจนว่าถ้าค่าคงที่เวลาของระบบเล็ก การตอบสนองของระบบจะเข้าสู่สภาวะคงที่เร็วขึ้น

การตอบสนองเวลาสำหรับฟังก์ชัน