कंट्रोल सिस्टम का समय डोमेन विश्लेषण

नियंत्रण प्रणाली में कुछ ऊर्जा संचय करने वाले तत्व लगे हो सकते हैं। इलेक्ट्रिकल प्रणाली में ऊर्जा संचय करने वाले तत्व आमतौर पर इंडक्टर और कैपेसिटर होते हैं। इन ऊर्जा संचय करने वाले तत्वों की उपस्थिति के कारण, यदि प्रणाली की ऊर्जा स्थिति गड़बड़ हो जाती है, तो यह एक ऊर्जा स्थिति से दूसरी ऊर्जा स्थिति में परिवर्तित होने के लिए निश्चित समय लेगी। प्रणाली द्वारा एक ऊर्जा स्थिति से दूसरी ऊर्जा स्थिति में परिवर्तित होने के लिए लिया गया ठीक-ठीक समय को ट्रांजिएंट समय कहा जाता है और इस अवधि के दौरान वोल्टेज और धारा का मान और पैटर्न ट्रांजिएंट प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है।

एक ट्रांजिएंट प्रतिक्रिया आमतौर पर दोलन से जुड़ी होती है, जो स्थिर या घटती हो सकती है। प्रणाली की वास्तविक प्रकृति प्रणाली के पैरामीटरों पर निर्भर करती है। किसी भी प्रणाली को एक रैखिक अंतर समीकरण द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। इस रैखिक अंतर समीकरण का हल प्रणाली की प्रतिक्रिया देता है। समय के फंक्शन और इसके हल द्वारा नियंत्रण प्रणाली का प्रतिनिधित्व सामूहिक रूप से नियंत्रण प्रणाली का समय डोमेन विश्लेषण कहलाता है।

चरण फंक्शन

आइए हम एक स्वतंत्र वोल्टेज स्रोत या बैटरी लें, जो एक स्विच, s, के माध्यम से एक वोल्टमीटर से जुड़ा है। नीचे दिए गए चित्र से स्पष्ट है कि जब स्विच s खुला होता है, तो वोल्टमीटर के टर्मिनलों के बीच वोल्टेज शून्य होता है। यदि वोल्टमीटर के टर्मिनलों के बीच वोल्टेज v (t) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, तो स्थिति गणितीय रूप से इस प्रकार प्रदर्शित की जा सकती है

अब आइए हम t = 0 पर, स्विच बंद हो जाता है और तुरंत बैटरी का वोल्टेज V वोल्ट वोल्टमीटर के बीच दिखाई देता है और यह स्थिति इस प्रकार प्रदर्शित की जा सकती है,

उपरोक्त दो समीकरणों को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं

उपरोक्त समीकरणों में यदि हम V के स्थान पर 1 रखें, तो हम एक इकाई चरण फंक्शन प्राप्त करेंगे जिसे इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

अब आइए हम इकाई चरण फंक्शन का लाप्लास रूपांतरण देखें। किसी भी फंक्शन का लाप्लास रूपांतरण इस फंक्शन को e-st से गुणा करके और 0 से अनंत तक गुणा को समाकलित करके प्राप्त किया जा सकता है।
आकृति 6.2.1

यदि इनपुट R(s) है, तो

रैंप फंक्शन

उस फंक्शन को जो एक झुकाव वाली सीधी रेखा द्वारा प्रदर्शित किया जाता है जो मूल से छेद करती है, रैंप फंक्शन कहा जाता है। इसका मतलब है कि यह फंक्शन शून्य से शुरू होता है और समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता या घटता है। एक रैंप फंक्शन इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है,

यहाँ इस ऊपरी समीकरण में, k रेखा का ढलान है।
आकृति 6.2.2
अब आइए हम रैंप फंक्शन का लाप्लास रूपांतरण देखें। जैसा कि हमने पहले बताया, किसी भी फंक्शन का लाप्लास रूपांतरण इस फंक्शन को e-st से गुणा करके और 0 से अनंत तक गुणा को समाकलित करके प्राप्त किया जा सकता है।

परबोलिक फंक्शन

यहाँ, फंक्शन का मान जब समय t<0 तो शून्य होता है और जब समय t > 0 तो द्विघातीय होता है। एक परबोलिक फंक्शन इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है,

अब आइए हम परबोलिक फंक्शन का लाप्लास रूपांतरण देखें। जैसा कि हमने पहले बताया, किसी भी फंक्शन का लाप्लास रूपांतरण इस फंक्शन को e-st से गुणा करके और 0 से अनंत तक गुणा को समाकलित करके प्राप्त किया जा सकता है।
आकृति 6.2.3

इम्पल्स फंक्शन

इम्पल्स सिग्नल तब उत्पन्न होता है जब इनपुट अत्यंत छोटे समय के लिए अचानक प्रणाली में लगाया जाता है। ऐसे सिग्नल की तरंग रूप इम्पल्स फंक्शन द्वारा प्रदर्शित की जाती है। यदि इस फंक्शन का परिमाण एक हो, तो इस फंक्शन को इकाई इम्पल्स फंक्शन कहा जाता है। चरण फंक्शन का पहला समय डेरिवेटिव इम्पल्स फंक्शन होता है। इसलिए इकाई इम्पल्स फंक्शन का लाप्लास रूपांतरण इकाई चरण फंक्शन के पहले समय डेरिवेटिव का लाप्लास रूपांतरण ही होता है।
आकृति 6.2.4

प्रथम क्रम नियंत्रण प्रणालियों का समय प्रतिक्रिया

जब एक ट्रांसफर फंक्शन के भाजक में s की अधिकतम शक्ति एक हो, तो ट्रांसफर फंक्शन प्रथम क्रम नियंत्रण प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्यतः, प्रथम क्रम नियंत्रण प्रणाली इस प्रकार प्रदर्शित की जा सकती है

चरण फंक्शन के लिए समय प्रतिक्रिया

अब यदि प्रणाली को एक इकाई चरण इनपुट दिया जाता है, तो आइए हम आउटपुट के व्यंजक का विश्लेषण करें: