Análisis en el Dominio del Tiempo del Sistema de Control

En un sistema de control, puede haber algunos elementos de almacenamiento de energía adjuntos a él. Los elementos de almacenamiento de energía son generalmente inductores y condensadores en el caso de un sistema eléctrico. Debido a la presencia de estos elementos de almacenamiento de energía, si el estado energético del sistema se perturba, tomará cierto tiempo para cambiar de un estado energético a otro. El tiempo exacto que toma el sistema para cambiar de un estado energético a otro se conoce como tiempo transitorio y el valor y patrón de las tensiones y corrientes durante este período se conocen como respuesta transitoria.

Una respuesta transitoria está normalmente asociada con una oscilación, que puede ser sostenida o decaedente en su naturaleza. La naturaleza exacta del sistema depende de los parámetros del sistema. Cualquier sistema puede representarse con una ecuación diferencial lineal. La solución de esta ecuación diferencial lineal da la respuesta del sistema. La representación de un sistema de control mediante una ecuación diferencial lineal de funciones de tiempo y su solución se llama colectivamente análisis en el dominio del tiempo del sistema de control.

Función escalón

Consideremos una fuente de tensión independiente o una batería que está conectada a un voltímetro a través de un interruptor, s. Es claro en la figura a continuación, que cuando el interruptor s está abierto, la tensión que aparece entre los terminales del voltímetro es cero. Si la tensión entre los terminales del voltímetro se representa como v (t), la situación puede representarse matemáticamente como

Ahora consideremos que en t = 0, el interruptor se cierra y de inmediato la tensión de la batería V voltios aparece a través del voltímetro y esa situación puede representarse como,

Combinando las dos ecuaciones anteriores obtenemos

En las ecuaciones anteriores, si ponemos 1 en lugar de V, obtendremos una función escalón unitario que se puede definir como

Ahora examinemos la transformada de Laplace de la función escalón unitario. La transformada de Laplace de cualquier función se puede obtener multiplicando esta función por e-st e integrando el producto desde 0 hasta infinito.
Figura 6.2.1

Si la entrada es R(s), entonces

Función rampa

La función que se representa por una línea recta inclinada que intersecta el origen se conoce como función rampa. Eso significa que esta función comienza desde cero e incrementa o decrementa linealmente con el tiempo. Una función rampa puede representarse como,

Aquí, en esta ecuación anterior, k es la pendiente de la línea.
Figura 6.2.2
Ahora examinemos la transformada de Laplace de la función rampa. Como dijimos antes, la transformada de Laplace de cualquier función se puede obtener multiplicando esta función por e-st e integrando el producto desde 0 hasta infinito.

Función parabólica

Aquí, el valor de la función es cero cuando el tiempo t<0 y es cuadrático cuando el tiempo t > 0. Una función parabólica puede definirse como,

Ahora examinemos la transformada de Laplace de la función parabólica. Como dijimos antes, la transformada de Laplace de cualquier función se puede obtener multiplicando esta función por e-st e integrando el producto desde 0 hasta infinito.
Figura 6.2.3

Función impulso

La señal de impulso se produce cuando la entrada se aplica repentinamente al sistema durante un tiempo infinitesimal. La forma de onda de tal señal se representa como función impulso. Si la magnitud de dicha función es unidad, entonces la función se llama función impulso unitaria. La primera derivada temporal de la función escalón es la función impulso. Por lo tanto, la transformada de Laplace de la función impulso unitaria no es más que la transformada de Laplace de la primera derivada temporal de la función escalón unitaria.
Figura 6.2.4

Respuesta temporal de sistemas de control de primer orden

Cuando el máximo poder de s en el denominador de una función de transferencia es uno, la función de transferencia representa un sistema de control de primer orden. Comúnmente, el sistema de control de primer orden puede representarse como

Respuesta temporal para la función escalón

Ahora, si se le da una entrada escalón unitario al sistema, analicemos la expresión de la salida:

Figura 6.3.2Se observa en la ecuación de error que si el tiempo se acerca al infinito, la señal de salida alcanza exponencialmente el valor en estado estacionario de una unidad. Como la salida se aproxima a la entrada exponencialmente, el error en estado estacionario es cero cuando el tiempo se acerca al infinito.

Coloquemos t = T en la ecuación de salida y entonces obtenemos,

Este T se define como la constante de tiempo de la respuesta y la constante de tiempo de una señal de respuesta es el tiempo para el cual la señal alcanza el 63.2 % de su valor final. Ahora, si colocamos t = 4T en la ecuación de respuesta de salida anterior, entonces obtenemos,

Cuando el valor real de la respuesta alcanza el 98% del valor deseado, entonces se dice que la señal ha alcanzado su condición de estado estacionario. Este tiempo requerido para que la señal alcance el 98 % de su valor deseado se conoce como tiempo de ajuste y naturalmente el tiempo de ajuste es cuatro veces la constante de tiempo de la respuesta. La condición de la respuesta antes del tiempo de ajuste se conoce como condición transitoria y la condición de la respuesta después del tiempo de ajuste se conoce como condición de estado estacionario. A partir de esta explicación, queda claro que si la constante de tiempo del sistema es menor, la respuesta del sistema llega a su condición de estado estacionario más rápido.

Respuesta temporal para la función rampa

En este caso, durante la condición de estado estacionario, la señal de salida se retrasa respecto a la señal de entrada por un tiempo igual a la constante de tiempo del sistema. Si la constante de tiempo del sistema es menor, el error posicional de la respuesta se vuelve menor.

Respuesta temporal para la función impulso