制御システムの時間領域解析

制御システムには、エネルギーを蓄積する要素が付属している場合があります。電気システムの場合、エネルギーを蓄積する要素は一般的にインダクタとコンデンサです。これらのエネルギーを蓄積する要素の存在により、システムのエネルギーステートが乱されると、あるエネルギーステートから別のエネルギーステートへ変化するのに一定の時間がかかります。システムが一つのエネルギーステートから別のエネルギーステートへ変化するのにかかる正確な時間は過渡時間と呼ばれ、この期間中の電圧および電流の値とパターンは過渡応答と呼ばれます。

過渡応答は通常、持続的または減衰性の振動に関連しています。システムの正確な性質は、システムのパラメータによって異なります。どのシステムも線形微分方程式で表現できます。この線形微分方程式の解は、システムの応答を与えます。制御システムを時間関数の線形微分方程式で表現し、その解を得ることを総称して制御システムの時間領域分析と言います。

ステップ関数

独立した電圧源またはバッテリーをスイッチsを介してボルトメーターに接続するとします。下図のように、スイッチsが開いているとき、ボルトメーターの端子間の電圧はゼロです。ボルトメーターの端子間の電圧をv(t)と表すと、この状況は数学的に以下のように表されます

ここでt = 0のときにスイッチを閉じると、瞬時にバッテリー電圧Vがボルトメーターに現れ、この状況は以下のように表されます

上記の2つの式を組み合わせると

上記の式において、Vの代わりに1を置くと、単位ステップ関数が得られます。これは以下の通り定義されます

次に、単位ステップ関数のラプラス変換を検討します。任意の関数のラプラス変換は、この関数にe-stを掛け、0から無限大まで積分することで得られます。
図6.2.1

入力がR(s)の場合

ランプ関数

原点を通る傾いた直線で表される関数をランプ関数と呼びます。つまり、この関数はゼロから始まり、時間とともに線形に増加または減少します。ランプ関数は以下のようになります

ここで、上記の式におけるkは直線の傾きです。
図6.2.2
次に、ランプ関数のラプラス変換を検討します。前述の通り、任意の関数のラプラス変換は、この関数にe-stを掛け、0から無限大まで積分することで得られます。

放物線関数

ここでは、時間t<0のとき関数の値はゼロであり、時間t>0のとき二次関数となります。放物線関数は以下の通り定義されます

次に、放物線関数のラプラス変換を検討します。前述の通り、任意の関数のラプラス変換は、この関数にe-stを掛け、0から無限大まで積分することで得られます。
図6.2.3

インパルス関数

インパルス信号は、入力が極めて短い時間に突然システムに適用されたときに生成されます。このような信号の波形はインパルス関数として表されます。このような関数の大きさが1であれば、関数は単位インパルス関数と呼ばれます。単位ステップ関数の一階微分はインパルス関数です。したがって、単位インパルス関数のラプラス変換は、単位ステップ関数の一階微分のラプラス変換と同じです。
図6.2.4

一次制御システムの時間応答

伝達関数の分母のsの最大次数が1の場合、その伝達関数は一次制御システムを表します。一般的に、一次制御システムは以下のように表されます

ステップ関数の時間応答

ここで、単位ステップ入力をシステムに与えると、出力の式を解析します

誤差式から、時間が無限大に近づくと、出力信号は指数関数的に一単位の定常値に到達することがわかります。出力が入力に指数関数的に近づくため、時間が無限大に近づくときの定常誤差はゼロです。

出力式にt = Tを代入すると

このTは応答の時間定数と定義され、応答信号の時間定数は、信号が最終値の63.2%に到達するまでの時間です。ここで、出力応答式にt = 4Tを代入すると

応答の実際の値が所望の値の98%に達すると、信号は定常状態に達したとみなされます。この信号が所望の値の98%に達するまでの必要時間は設定時間と呼ばれ、設定時間は応答の時間定数の4倍です。設定時間前の応答の状態は過渡状態と呼ばれ、設定時間後の応答の状態は定常状態と呼ばれます。この説明から、システムの時間定数が小さいほど、システムの応答は早く定常状態に達することが明らかです。

ランプ関数の時間応答

この場合、定常状態では、出力信号は入力信号よりシステムの時間定数に等しい時間遅れます。システムの時間定数が小さいほど、応答の位置誤差が小さくなります。

インパルス関数の時間応答

上記の制御システムの時間応答の説明で、ステップ関数はランプ関数の一階微分であり、インパルス関数はステップ関数の一階微分であることが示されました。また、ステップ関数の時間応答はランプ関数の時間応答の一階微分であり、インパルス関数の時間応答はステップ関数の時間応答の一階微分であることも確認されました。

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