Phân tích miền thời gian của hệ thống điều khiển

Trong một hệ thống điều khiển, có thể có một số yếu tố lưu trữ năng lượng được gắn vào nó. Các yếu tố lưu trữ năng lượng thường là cuộn cảm và dien dung trong trường hợp của hệ thống điện. Do sự tồn tại của các yếu tố lưu trữ năng lượng này, nếu trạng thái năng lượng của hệ thống bị xáo trộn, nó sẽ mất một khoảng thời gian nhất định để chuyển từ một trạng thái năng lượng sang trạng thái khác. Thời gian chính xác mà hệ thống mất để thay đổi từ một trạng thái năng lượng sang trạng thái khác được gọi là thời gian quá độ và giá trị và mô hình điện áp và dòng điện trong giai đoạn này được gọi là phản ứng quá độ.

Một phản ứng quá độ thường liên quan đến dao động, có thể duy trì hoặc suy giảm theo bản chất. Bản chất chính xác của hệ thống phụ thuộc vào các tham số của hệ thống. Bất kỳ hệ thống nào cũng có thể được biểu diễn bằng một phương trình vi phân tuyến tính. Giải pháp của phương trình vi phân tuyến tính này cho phản ứng của hệ thống. Việc biểu diễn một hệ thống điều khiển bằng một phương trình vi phân tuyến tính của hàm thời gian và giải pháp của nó được gọi chung là phân tích miền thời gian của hệ thống điều khiển.

Hàm bước

Hãy xem xét một nguồn điện độc lập hoặc một pin được kết nối qua một volt kế thông qua một công tắc, s. Rõ ràng từ hình dưới đây, khi công tắc s mở, điện áp xuất hiện giữa các đầu cực của volt kế là không. Nếu điện áp giữa các đầu cực của volt kế được biểu diễn là v (t), tình huống có thể được biểu diễn toán học như sau

Bây giờ hãy xem xét tại t = 0, công tắc được đóng và ngay lập tức điện áp pin V volt xuất hiện trên volt kế và tình huống đó có thể được biểu diễn như sau,

Kết hợp hai phương trình trên ta được

Trong các phương trình trên, nếu chúng ta đặt 1 thay vì V, chúng ta sẽ có hàm bước đơn vị, có thể được định nghĩa như sau

Bây giờ hãy xem xét biến đổi Laplace của hàm bước đơn vị. Biến đổi Laplace của bất kỳ hàm nào có thể được thu được bằng cách nhân hàm này với e-st và tích phân nhân từ 0 đến vô cùng.
Hình 6.2.1

Nếu đầu vào là R(s), thì

Hàm dốc

Hàm được biểu diễn bằng một đường thẳng nghiêng cắt gốc được gọi là hàm dốc. Điều đó có nghĩa là hàm này bắt đầu từ không và tăng hoặc giảm tuyến tính theo thời gian. Một hàm dốc có thể được biểu diễn như sau,

Ở đây, trong phương trình trên, k là độ dốc của đường.
Hình 6.2.2
Bây giờ hãy xem xét biến đổi Laplace của hàm dốc. Như chúng ta đã nói trước đó, biến đổi Laplace của bất kỳ hàm nào có thể được thu được bằng cách nhân hàm này với e-st và tích phân nhân từ 0 đến vô cùng.

Hàm parabol

Ở đây, giá trị của hàm là không khi thời gian t<0 và là bậc hai khi thời gian t > 0. Một hàm parabol có thể được định nghĩa như sau,

Bây giờ hãy xem xét biến đổi Laplace của hàm parabol. Như chúng ta đã nói trước đó, biến đổi Laplace của bất kỳ hàm nào có thể được thu được bằng cách nhân hàm này với e-st và tích phân nhân từ 0 đến vô cùng.
Hình 6.2.3

Hàm xung

Tín hiệu xung được tạo ra khi đầu vào đột ngột được áp dụng cho hệ thống trong thời gian vô cùng ngắn. Hình dạng sóng của tín hiệu như vậy được biểu diễn dưới dạng hàm xung. Nếu độ lớn của hàm này là một, thì hàm được gọi là hàm xung đơn vị. Đạo hàm theo thời gian đầu tiên của hàm bước là hàm xung. Do đó, biến đổi Laplace của hàm xung đơn vị không gì khác hơn là biến đổi Laplace của đạo hàm theo thời gian đầu tiên của hàm bước.
Hình 6.2.4

Phản ứng thời gian của hệ thống điều khiển bậc nhất

Khi lũy thừa tối đa của s trong mẫu của hàm truyền là một, hàm truyền đại diện cho một hệ thống điều khiển bậc nhất. Thường xuyên, hệ thống điều khiển bậc nhất có thể được biểu diễn như sau

Phản ứng thời gian cho hàm bước

Bây giờ, một đầu vào bước đơn vị được cung cấp cho hệ thống, hãy phân tích biểu thức của đầu ra:

Hình 6.3.2Từ phương trình lỗi, ta thấy rằng khi thời gian tiến tới vô cùng, tín hiệu đầu ra đạt đến giá trị ổn định là một đơn vị theo cấp số mũ. Khi đầu ra tiếp cận đầu vào theo cấp số mũ, lỗi ổn định là không khi thời gian tiến tới vô cùng.

Hãy đặt t = T trong phương trình đầu ra và sau đó ta có,

T này được định nghĩa là hằng số thời gian của phản ứng và hằng số thời gian của tín hiệu phản ứng là thời gian mà tín hiệu đạt đến 63,2% giá trị cuối cùng của nó. Bây giờ, nếu chúng ta đặt t = 4T trong phương trình phản ứng đầu ra trên, thì ta có,

Khi giá trị thực tế của phản ứng đạt đến 98% giá trị mong muốn, thì tín hiệu được coi là đã đạt đến trạng thái ổn định. Thời gian cần thiết để tín hiệu đạt đến 98% giá trị mong muốn được gọi là thời gian thiết lập và tự nhiên thời gian thiết lập là bốn lần hằng số thời gian của phản ứng. Trạng thái của phản ứng trước thời gian thiết lập được gọi là trạng thái tạm thời và trạng thái của phản ứng sau thời gian thiết lập được gọi là trạng thái ổn định. Từ giải thích này, rõ ràng rằng nếu hằng số thời gian của hệ thống nhỏ hơn, phản ứng của hệ thống sẽ đạt đến trạng thái ổn định nhanh hơn.

Phản ứng thời gian cho hàm dốc

Trong trường hợp này, trong trạng thái ổn định, tín hiệu đầu ra lag so với tín hiệu đầu vào một thời gian bằng hằng số thời gian của hệ thống. Nếu hằng số thời gian của hệ thống nhỏ, lỗi vị trí của phản ứng trở nên ít hơn.

Phản ứng thời gian cho hàm xung