Χρονική Ανάλυση του Συστήματος Ελέγχου

Σε ένα σύστημα ελέγχου, μπορεί να υπάρχουν κάποια στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας που είναι συνδεδεμένα με αυτό. Τα στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας είναι συνήθως σπειρώματα και καταναλωτικοί σε περίπτωση ηλεκτρικού συστήματος. Λόγω της παρουσίας αυτών των στοιχείων αποθήκευσης ενέργειας, αν ο ενεργειακός κατάσταση του συστήματος διαταραχθεί, θα χρειαστεί κάποιο χρόνο για να αλλάξει από μία ενεργειακή κατάσταση σε άλλη. Ο ακριβής χρόνος που χρειάζεται το σύστημα για να αλλάξει μία ενεργειακή κατάσταση σε άλλη ονομάζεται προσωρινός χρόνος και οι τιμές και το μοτίβο τάσεων και ρευμάτων κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου είναι γνωστά ως προσωρινή απόκριση.

Η προσωρινή απόκριση συνήθως συνδέεται με μια ταλάντωση, η οποία μπορεί να είναι σταθερή ή αποδεκατομενή φύση. Η ακριβής φύση του συστήματος εξαρτάται από τους παράμετρους του συστήματος. Οποιοδήποτε σύστημα μπορεί να παρασταθεί με μια γραμμική διαφορική εξίσωση. Η λύση αυτής της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης δίνει την απόκριση του συστήματος. Η παράσταση ενός συστήματος ελέγχου με μια γραμμική διαφορική εξίσωση συναρτήσεων χρόνου και η λύση της ονομάζεται συλλογικά ανάλυση χρονικού πεδίου του συστήματος ελέγχου.

Συνάρτηση Βήματος

Πάρτε έναν ανεξάρτητο πηγή τάσης ή μια μπαταρία η οποία είναι συνδεδεμένη με ένα βολτμέτρο μέσω ενός τελεστή, s. Είναι σαφές από το παρακάτω σχήμα, όταν ο τελεστής s είναι ανοιχτός, η τάση που εμφανίζεται μεταξύ των πινάκων του βολτμέτρου είναι μηδέν. Αν η τάση μεταξύ των πινάκων του βολτμέτρου παρασταθεί ως v (t), η κατάσταση μπορεί να παρασταθεί μαθηματικά ως

Τώρα ας υποθέσουμε ότι στο t = 0, ο τελεστής κλείνει και αμέσως η τάση της μπαταρίας V βολτ εμφανίζεται μεταξύ του βολτμέτρου και αυτή η κατάσταση μπορεί να παρασταθεί ως,

Συνδυάζοντας τις παραπάνω δύο εξισώσεις παίρνουμε

Στις παραπάνω εξισώσεις, αν βάλουμε 1 αντί για V, θα πάρουμε μια μοναδιαία συνάρτηση βήματος, η οποία μπορεί να οριστεί ως

Τώρα ας εξετάσουμε την μετατροπή Laplace της μοναδιαίας συνάρτησης βήματος. Η μετατροπή Laplace οποιασδήποτε συνάρτησης μπορεί να παρασχεθεί πολλαπλασιάζοντας αυτή τη συνάρτηση με e-st και ολοκληρώνοντας το πολλαπλασιασμένο από 0 έως το άπειρο.
Σχήμα 6.2.1

Αν το είσοδος είναι R(s), τότε

Συνάρτηση Κλίμακας

Η συνάρτηση η οποία παραστάται από μια κλίνουσα ευθεία που τέμνει την αρχή των αξόνων είναι γνωστή ως συνάρτηση κλίμακας. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η συνάρτηση ξεκινά από μηδέν και αυξάνεται ή μειώνεται γραμμικά με το χρόνο. Μια συνάρτηση κλίμακας μπορεί να παρασταθεί ως,

Εδώ στην παραπάνω εξίσωση, k είναι η πλάκα της γραμμής.
Σχήμα 6.2.2
Τώρα ας εξετάσουμε την μετατροπή Laplace της συνάρτησης κλίμακας. Όπως είπαμε προηγουμένως, η μετατροπή Laplace οποιασδήποτε συνάρτησης μπορεί να παρασχεθεί πολλαπλασιάζοντας αυτή τη συνάρτηση με e-st και ολοκληρώνοντας το πολλαπλασιασμένο από 0 έως το άπειρο.

Παραβολική Συνάρτηση

Εδώ, η τιμή της συνάρτησης είναι μηδέν όταν ο χρόνος t<0 και είναι τετραγωνική όταν ο χρόνος t > 0. Μια παραβολική συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως,

Τώρα ας εξετάσουμε τη μετατροπή Laplace της παραβολικής συνάρτησης. Όπως είπαμε προηγουμένως, η μετατροπή Laplace οποιασδήποτε συνάρτησης μπορεί να παρασχεθεί πολλαπλασιάζοντας αυτή τη συνάρτηση με e-st και ολοκληρώνοντας το πολλαπλασιασμένο από 0 έως το άπειρο.
Σχήμα 6.2.3

Συνάρτηση Δέλτα

Το σήμα παρεμβολής παράγεται όταν ο είσοδος εφαρμόζεται απότομα στο σύστημα για μια απειροστική διάρκεια χρόνου. Η κύματοσχεδία τέτοιου σήματος παρασταθεί ως συνάρτηση παρεμβολής. Αν η μέγεθος αυτής της συνάρτησης είναι μονάδα, τότε η συνάρτηση ονομάζεται μοναδιαία συνάρτηση παρεμβολής. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης βήματος είναι η συνάρτηση παρεμβολής. Έτσι, η μετατροπή Laplace της μοναδιαίας συνάρτησης παρεμβολής είναι η μετατροπή Laplace της πρώτης παραγώγου της μοναδιαίας συνάρτησης βήματος.
Σχήμα 6.2.4

Χρονική Απόκριση Πρώτης Τάξης Συστημάτων Ελέγχου

Όταν η μέγιστη δύναμη του s στο παρονομαστή της μεταφορικής συνάρτησης είναι μία, η μεταφορική συνάρτηση α