Kontrol Sistemaren Denbora Egoerako Analisia

Kontrol-sistema batean, energia gordeko elementu batzuk lotu daitezke. Energia gordeko elementuak elektriko sistema baten kasuan oso askotan induktoreak eta kondentsadoreak dira. Elementu hauek existitzen direnean, sistema baten egoera energialekoa aldatzen denean, aldaketarako denbora zehatz bat behar da. Sistema batek egiten duen denbora hau transientea deitzen zaio, eta balioa eta eredu hori tentsioen eta intentsioen transientearen erantzuna dela esaten da.

Transientearen erantzuna arrunta oszilazioarekin dago elkarrekin, eta oszilazioa mantendu edo gutxitu egin daiteke. Sistema baten natura zehatza sistemaaren parametroen mendean dago. Edozein sistema ekuazio diferentzial lineal batekin adieraz daiteke. Ekuazio diferentzial lineal horren soluzioa sistema baten erantzuna ematen du. Kontrol-sistema baten adierazpena tarte-zati funtzioen ekuazio diferentzial linealekin eta bere soluzioek batera domeinuanalisi denboraldia deitzen zaie.

Funtzio Igalgarria

Bateri edo tentsio-iturri independente bat hartu dezagun, s sakelari bidez voltmeter batetik igaro dadin. Sakelari s ireki dagoenean, voltmeterren bornen artean tentsiorik gabe dagoela argi dago. Voltsmetreren bornen arteko tentsioa v (t) bezala adierazten badugu, situazioa matematikoki honela adieraz daiteke

Orain, t = 0 denean, sakelaria itxi eta bateria tentsioa V volt instantaneoki voltmeteren gainean agertzen denean, situazioa honela adieraz daiteke,

Bi ekuazio horiek batuz lortzen dugu

Ekuazio horietan, V-ren ordez 1 jarrita, funtzio igalgarri unitarioa lortzen dugu, honela definitu daitekeena

Orain, funtzio igalgarri unitarioaren transformazioa Laplace-en azter dezagun. Funtzio baten transformazioa Laplace-en multiplikatu egin daiteke funtzio hori e-st -rekin eta integrazioa 0-tik infinitura egiten da.
Fig 6.2.1

Sarrera R(s) bada

Funtzio Rampa

Funtzio rampa izeneko funtzioa jatorrizko zuzen baten adierazpena da. Honek zeroetik hasi eta denborarekin linealki handitu edo murriztu egiten du. Funtzio rampa honela adieraz daiteke,

Hemen, k zuzenaren malda da.
Fig 6.2.2
Orain, funtzio ramparen transformazioa Laplace-en azter dezagun. Aurrean esan bezala, edozein funtzio-ren transformazioa Laplace-en multiplikatu egin daiteke funtzio hori e-st -rekin eta integrazioa 0-tik infinitura egiten da.

Funtzio Parabolikoa

Hemen, t < 0 denean funtzioaren balioa zero da, eta t > 0 denean koadratikoa da. Funtzio parabolikoa honela definitu daiteke,

Orain, funtzio parabolikoaren transformazioa Laplace-en azter dezagun. Aurrean esan bezala, edozein funtzio-ren transformazioa Laplace-en multiplikatu egin daiteke funtzio hori e-st -rekin eta integrazioa 0-tik infinitura egiten da.
Fig 6.2.3

Funtzio Impulsua

Impulso-sinala sistema batean inprimaketa aplikatzen den unean sortzen da denbora infinitesimal batez. Sinal horren forma impulsu-funtzio gisa adierazten da. Funtzio horren magnitudea bat bada, orduan funtzioa unitate impulsu-funtzio deitzen da. Funtzio igalgarri unitarioaren lehenengo deribatua impulsu-funtzioa da. Beraz, unitate impulsu-funtzioaren transformazioa Laplace-en unitate igalgarri-funtzioaren lehenengo deribatuaren transformazioa Laplace-en da.
Fig 6.2.4

Kontrol-Sistema Lehen Mailako Denbora Erantzuna

Transfer-funtzio baten menpeko s-ren berretzaile handiena bat denean, transfer-funtzioa kontrol-sistema lehen mailako bat adierazten du. Ohiko moduan, kontrol-sistema lehen mailako bat honela adieraz daiteke

Funtzio Igalgarriaren Denbora Erantzuna

Orain, sistema batei sarrera igalgarri unitarioa eman ondoren, irteera honako hau azter dezagun:

Fig 6.3.2Errore ekuazioetik ikus daitekeenez, denbora infinitura joan ahal izan daitekeenean, sinala irteerako unitate baten balio estabilera jotzen du. Irteera sarrerara exponencialki jotzen denean, errore estabilero zeroa da denbora infinitura joan ahal izan daitekeenean.

Orain, t = T jarrita, irteera ekuazioan, orduan honako hau lortzen dugu,

T hau erantzunaren konstante denborala deitzen da, eta erantzun-sinal baten konstante denborala sinala bere balio finalaren 63.2 % era jotzen duen denbora da. Orain, t = 4T jarrita, irteera erantzun ekuazioan, orduan honako hau lortzen dugu,

Erantzunaren balio erreala sinalaren balio desiratuen 98% era jotzen denean, orduan sinala estabilera jotzen dela esaten da. Sinala bere balio desiratuen 98% era jotzeko beharrezkoa den denbora erabaki daiteke, eta hori erantzunaren konstante denboralen lau aldiz da. Erantzunaren egoera erabaki baino lehen egoera transientea dela esaten da, eta erantzunaren egoera erabaki ondoren egoera estabilera dela esaten da. Azalpen honekin argi dago sistemaren konstante denborala txikiagoa denean, erantzunak estabilera gehiago joango du.

Funtzio Ramparen Denbora Erantzuna

Hemen, egoera estabileraan, irteera sinalak sinal sarrerarekin lagundu egiten du sistemaren konstante denborarekin. Sistemaren konstante denborala txikiagoa denean, erantzunaren errorea posizioan txikiagoa da.

Funtzio Impulsuaren Denbora Erantzuna

Kontrol-sistema baten denbora erantzunaren azpian, funtzio igalgarria funtzio ramparen deribatu lehenengoa dela eta funtzio impulsua funtzio igalgarrien deribatu lehenengoa dela ikusi dugu. Gainera, funtzio igalgarrien denbora erantzuna funtzio ramparen denbora erantzunaren deribatu lehenengoa da, eta funtzio impulsuen