Часова областна анализа на системата за управление
В система за управление може да има прикачени елементи, които съхраняват енергия. Елементите, които съхраняват енергия, обикновено са индуктивности и кондензатори в случай на електрическа система. В резултат на наличието на тези елементи, ако енергийното състояние на системата бъде нарушено, то ще отнеме определено време, за да се промени от едно енергийно състояние към друго. Точно това време, необходимо за промяна на енергийното състояние, се нарича преходно време, а стойността и образците на напреженията и токовете по време на този период се наричат преходен отговор.
Преходният отговор обикновено е свързан с осцилация, която може да е устойчива или затихваща по природа. Точната природа на системата зависи от параметрите на системата. Която и да е система може да бъде представена с линейно диференциално уравнение. Решението на това линейно диференциално уравнение дава отговора на системата. Представянето на система за управление чрез линейно диференциално уравнение на функции на времето и неговото решение колективно се нарича анализ във времевата област на системата за управление.
Стъпковата функция
Нека вземем независим източник на напрежение или батерия, свързана с voltmeter чрез ключ, s. От фигурата по-долу е ясно, че когато ключът s е отворен, напрежението между контактите на волтметъра е нула. Ако напрежението между контактите на волтметъра се представи като v (t), ситуацията може да бъде математически представена като
Сега нека предположим, че при t = 0 ключът се затваря и мигновено напрежението V волта се появява между контактите на волтметъра и тази ситуация може да бъде представена като,
Обединявайки горните две уравнения, получаваме
В горните уравнения, ако заместим 1 вместо V, ще получим единична стъпкова функция, която може да бъде дефинирана като
Сега нека разгледаме преобразуването на Лаплас на единичната стъпкова функция. Преобразуването на Лаплас на всяка функция може да бъде получено, умножавайки тази функция по e-st и интегрирайки умноженото от 0 до безкрайност.
Фиг. 6.2.1
Ако входът е R(s), то
Рамповата функция
Функцията, представена с наклонена права, пресичаща началото, се нарича рампова функция. Това означава, че тази функция започва от нула и се увеличава или намалява линейно с времето. Рамповата функция може да бъде представена като,
В горното уравнение, k е наклона на правата.
Фиг. 6.2.2
Сега нека разгледаме преобразуването на Лаплас на рамповата функция. Както казахме по-рано, преобразуването на Лаплас на всяка функция може да бъде получено, умножавайки тази функция по e-st и интегрирайки умноженото от 0 до безкрайност.
Параболична функция
Тук, стойността на функцията е нула, когато времето t<0, и е квадратично, когато времето t > 0. Параболичната функция може да бъде дефинирана като,
Сега нека разгледаме преобразуването на Лаплас на параболичната функция. Както казахме по-рано, преобразуването на Лаплас на всяка функция може да бъде получено, умножавайки тази функция по e-st и интегрирайки умноженото от 0 до безкрайност.
Фиг. 6.2.3
Импулсна функция
Импулсният сигнал се произвежда, когато входът се прилага внезапно към системата за безкрайно малко време. Формата на такъв сигнал се представя като импулсна функция. Ако величината на такава функция е единица, функцията се нарича единична импулсна функция. Първата производна на стъпковата функция спрямо времето е импулсна функция. Следователно преобразуването на Лаплас на единичната импулсна функция е просто преобразуването на Лаплас на първата производна на единичната стъпкова функция спрямо времето.
Фиг. 6.2.4
Времевият отговор на системи за управление от първи ред
Когато максималната степен на s в знаменателя на передаточната функция е едно, тази передаточна функция представлява система за управление от първи ред. Обикновено, система за управление от първи ред може да бъде представена като
Времевият отговор за стъпкова функция
Сега, когато се даде единичен стъпков вход на системата, нека анализираме израза на изхода:
Фиг. 6.3.2От уравнението на грешката се вижда, че ако времето приближава безкрайност, изходният сигнал достига експоненциално до стабилната стойност от единица. Тъй като изходът се приближава експоненциално към входа, стабилната грешка е нула, когато времето приближава безкрайност.
Нека заместим t = T в уравнението на изхода и тогава получаваме,
Това T се дефинира като времева константа на отговора, а времевата константа на сигнала за отговор е това време, за което сигналът достига 63.2 % от финалната си стойност. Сега, ако заместим t = 4T в горния уравнителен израз на изхода, тогава получаваме,
Когато реалната стойност на отговора достигне 98% от желаната стойност, сигналът се счита за достигнал до своето стабилно състояние. Това необходимото време за достигане на сигнала до 98 % от желаната стойност се нарича време за установяване и естествено, временето за установяване е четири пъти по-голямо от времевата константа на отговора. Състоянието на отговора преди времето за установяване се нарича преходно състояние, а състоянието на отговора след времето за установяване се нарича стабилно състояние. От това обяснение става ясно, че ако времевата константа на системата е по-малка, отговорът на системата достига своето стабилно състояние по-бързо.
