Časovna analiza nadzornega sistema

V sistemih za nadzor lahko obstajajo nekateri elementi, ki shranjujejo energijo. Elementi, ki shranjujejo energijo, so običajno indukcije in kapacitorji v primeru električnih sistemov. Zaradi prisotnosti teh elementov, ki shranjujejo energijo, bo, če se stanje energije sistema moti, potreben določen čas, da se spremeni iz enega stanja energije v drugega. Točen čas, ki ga sistem potrebuje za spremembo stanja energije, se imenuje prehodni čas, vrednost in vzorec napetosti in tokov med tem obdobjem pa se imenuje prehodna odziv.

Prehodni odziv je običajno povezan z nihanjem, ki je lahko ohranljivo ali zamirujoče. Točna narava sistema je odvisna od parametrov sistema. Katerikoli sistem se lahko predstavi s linearno diferencialno enačbo. Rešitev te linearne diferencialne enačbe daje odziv sistema. Predstavitev sistema za nadzor s linearno diferencialno enačbo funkcij časa in njena rešitev se skupaj imenuje analiza v časovnem prostoru sistema za nadzor.

Koračna funkcija

Razmislimo o neodvisnem viro napetosti ali bateriji, ki je povezan na voltmetr preko preklopnika s. Je jasno iz slike spodaj, da ko je preklopnik s odprt, napetost med terminali voltmeterja nič. Če napetost med terminali voltmeterja predstavimo kot v (t), situacija se lahko matematično predstavi kot

Zdaj razmislimo, da ob t = 0 je preklopnik zaprt in trenutno napetost baterije V volt pojavlja med voltmeterjem, kar se lahko predstavi kot,

Z združevanjem zgornjih dveh enačb dobimo

V zgornjih enačbah, če namesto V vstavimo 1, dobimo enotsko koračno funkcijo, ki jo lahko definiramo kot

Zdaj preučimo Laplaceovo transformacijo enotske koračne funkcije. Laplaceova transformacija katere koli funkcije se dobi z množenjem te funkcije z e-st in integriranjem zmnožka od 0 do neskončnosti.
Slika 6.2.1

Če je vhod R(s), potem

Rampa funkcija

Funkcija, predstavljena z naklonjenim premico, ki seka izhodišče, se imenuje rampa funkcija. To pomeni, da ta funkcija začne pri nič in se linearno povečuje ali zmanjšuje s časom. Rampa funkcija se lahko predstavi kot,

V tej zgornji enačbi je k naklon premice.
Slika 6.2.2
Zdaj preučimo Laplaceovo transformacijo rampe funkcije. Kot smo že povedali, Laplaceova transformacija katere koli funkcije se dobi z množenjem te funkcije z e-st in integriranjem zmnožka od 0 do neskončnosti.

Parabolična funkcija

V tem primeru je vrednost funkcije nič, ko je čas t < 0, in kvadratna, ko je čas t > 0. Parabolična funkcija se lahko definira kot,

Zdaj preučimo Laplaceovo transformacijo parabolične funkcije. Kot smo že povedali, Laplaceova transformacija katere koli funkcije se dobi z množenjem te funkcije z e-st in integriranjem zmnožka od 0 do neskončnosti.
Slika 6.2.3

Impulzna funkcija

Impulzn signal nastane, ko je vhod nenadoma uporabljen v sistemu za neskončno majhen časovni interval. Oblika valovanja takšnega signala je predstavljena kot impulzna funkcija. Če je velikost take funkcije enota, se funkcija imenuje enotska impulzna funkcija. Prvi časovni odvod koračne funkcije je impulzna funkcija. Torej je Laplaceova transformacija enotske impulzne funkcije nič drugo kot Laplaceova transformacija prvega časovnega odvoda enotske koračne funkcije.
Slika 6.2.4

Časovni odziv prvostopenjskih sistemov za nadzor

Ko je največja moč s v imenovalcu prenosne funkcije ena, prenosna funkcija predstavlja prvostopenjski sistem za nadzor. Prvostopenjski sistem za nadzor se običajno lahko predstavi kot

Časovni odziv za koračno funkcijo

Zdaj sistemu podamo enotski koračni vhod, analizirajmo izraz izhoda:

Slika 6.3.2Iz enačbe napake je videti, da, če čas približa neskončnost, izhodni signal eksponentno doseže stacionarno vrednost enote. Ker izhod eksponentno približa vhod, je stacionarna napaka nič, ko čas približa neskončnost.

Vstavimo t = T v enačbo izhoda, in dobimo,

To T je definirano kot časovna konstanta odziva in časovna konstanta signala je čas, za katerega signal doseže 63,2 % svoje končne vrednosti. Če vstavimo t = 4T v zgornjo enačbo odziva, dobimo,

Ko doseže dejanska vrednost odziva 98 % želenega, se signal trdi, da je dosegel stacionarno stanje. Ta zahtevan čas za dosego signala 98 % želenega se imenuje postavni čas in je naravno štiri krat večji od časovne konstante odziva. Stanje odziva pred postavnim časom se imenuje prehodno stanje, stanje odziva po postavnem času pa stacionarno stanje. Iz tega razlage je jasno, da, če je časovna konstanta sistema manjša, doseže odziv sistema hitreje stacionarno stanje.

Časovni odziv za rampo funkcijo

V tem primeru, med stacionarnim stanjem, izhodni signal zaostaja za vhodnim signalom za čas, enak