Ajapistluse analüüs juhtimissüsteemide puhul

Juhendamissüsteemis võivad olla sellele mõned energiat varudelementid seotud. Elektrilise süsteemi puhul on need tavaliselt induktori ja kondensaatorid. Nende energiavarudelementide kohalolu tõttu, kui süsteemi energia olek muutub, võtab see teisendamine ühest energiaolekust teiseks mingit aega. See täpne aeg, mille jooksul süsteem ühest energiaolekust teiseks ümber läheb, on teada kui ajutine aeg ja selle perioodi voolendid ja voolud on teada kui ajutine reaktsioon.

Ajutine reaktsioon on tavaliselt seotud oskilles, mis võib olla jätkuv või lähenedes nullile. Selle täpse naturaalsuse sõltub süsteemi parameetritest. Iga süsteemi saab esitada lineaarse diferentsiaalvõrrandiga. Selle lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendus annab süsteemi reaktsiooni. Juhendamissüsteemi esitus lineaarse diferentsiaalvõrrandina funktsioonide kaudu aja suhtes ja selle lahendus on üldiselt teada kui ajastiku analüüsi juhendamissüsteemi.

Sammfunktsioon

Võtame sõltumatult pingevälja või akkupäikese, mis on ühendatud voltmetriga kaudu lüliti, s. On selge järgnevast joonest, et kui lüliti s on lahti, siis voltmeteri poolt näidatav pingeväärtus on null. Kui voltmeteri poolt näidatav pingeväärtus on väljendatud kui v (t), siis olukord saab matemaatiliselt väljendada kui

Nüüd eeldame, et hetkel t = 0, lüliti sulgevad ja akkupinna pingeväärtus V volt ilmub voltmeteri poolt ja see olukord saab väljendada kui,

Kombineerides eelneva kahe võrrandi saame

Eelnevates võrrandites, kui asume V asemel 1, saame ühik-sammfunktsiooni, mida saab defineerida kui

Nüüd uurime ühik-sammfunktsiooni Laplace'i teisendust. Iga funktsiooni Laplace'i teisendus saab selle funktsiooni korrutamisel e-st ja integreerimisel korrutatud vahemikus 0 kuni lõpmatus.
Joonis 6.2.1

Kui sisend on R(s), siis

Rampfunktsioon

Funktsioon, mida esitatakse kaldinal tasakaalujoonega, mis lõikub origo, on teada kui rampfunktsioon. See tähendab, et see funktsioon algab nullist ja kasvab või väheneksid lineaarselt ajaga. Rampfunktsiooni saab esitada kui,

Selles eelnevases võrrandis on k sirgjoone tõus.
Joont 6.2.2
Nüüd uurime rampfunktsiooni Laplace'i teisendust. Nagu me varem ütlesime, saab iga funktsiooni Laplace'i teisendus selle funktsiooni korrutamisel e-st ja integreerimisel korrutatud vahemikus 0 kuni lõpmatus.

Paraabelfunktsioon

Siin on funktsiooni väärtus null, kui aeg t<0 ja ruutline, kui aeg t > 0. Paraabelfunktsiooni saab defineerida kui,

Nüüd uurime paraabelfunktsiooni Laplace'i teisendust. Nagu me varem ütlesime, saab iga funktsiooni Laplace'i teisendus selle funktsiooni korrutamisel e-st ja integreerimisel korrutatud vahemikus 0 kuni lõpmatus.
Joont 6.2.3

Pulsifunktsioon

Pulsisignaal tekib, kui sisend süsteemile rakendatakse üsna aega. Sellise signaali lainekuju on esitatud pulsifunktsioonina. Kui sellise funktsiooni suurus on üks, siis nimetatakse seda ühikpulsifunktsiooniks. Esimese aja tuletis sammfunktsioonist on pulsifunktsioon. Seega on ühikpulsifunktsiooni Laplace'i teisendus mitte midagi muud kui ühiksammfunktsiooni esimese aja tuletise Laplace'i teisendus.
Joont 6.2.4

Esimest järku juhendamissüsteemide aja vastus

Kui ülekandefunktsiooni nimetaja s maksimaalne võim on üks, siis see ülekandefunktsioon esitab esimest järku juhendamissüsteemi. Tavaliselt saab esimest järku juhendamissüsteemi esitada kui

Aja vastus sammfunktsiooni korral

Nüüd antakse süsteemile ühik-sammfunktsioon, siis analüüsime väljundite avaldise:

Joont 6.3.2Vigaava avaldis näitab, et kui aeg läheneb lõpmatusele, siis väljundsignaal eksponentsiaalselt läheneb ühe ühiku stabiilsele väärtusele. Kuna väljund läheneb sisendile eksponentsiaalselt, on stabiilne viga null, kui aeg läheneb lõpmatusele.

Paneme t = T väljundi võrrandisse ja siis saame,

See T on määratletud kui vastuse aegkonstant ja vastusesignaali aegkonstant on aeg, mille jooksul signaal jõuab 63,2 % oma lõplikust väärtusest. Nüüd, kui paneme t = 4T eelnevasse väljundvastuse võrrandisse, siis saame,

Kui tegelik vastuse väärtus jõuab 98% soovitud väärtusest, siis öeldakse, et signaal on jõudnud oma stabiilsesse olekusse. See nõutav aeg, et signaal jõuaks 98 % soovitud väärtusest, on teada kui seadistusaeg ja loomulikult on seadistusaeg nelikord aegkonstantist. Vastuse olek enne seadistusaega on teada kui ajutine olek ja vastuse olek pärast seadistusaega on teada kui stabiilne olek. Sellest selgitusest on selge, et kui süsteemi aegkonstant on väiksem, siis süsteemi vastus jõuab oma stabiilsesse olekusse kiiremini.

Aja vastus rampfunktsiooni korral

Selles juhul, stabiilse oleku ajal, viivitab väljundsignaal sisendsignaali vastu aja võrra, mis on võrdne süsteemi aegkonstandiga. Kui süsteemi aegkonstant on väiksem, siis vastuse positsiooniline viga on väiksem.