Tydgebied Analise van Beheersisteem

In 'n beheersisteem kan daar moontlik energie-opslag-elemente bygevoeg word. Energie-opslag-elemente is in die geval van 'n elektriese stelsel gewoonlik indukteurs en kondensators. As gevolg van die teenwoordigheid van hierdie energie-opslag-elemente, as die energiestand van die stelsel gestoor word, sal dit 'n sekere tyd neem om van een energiestand na 'n ander te verander. Die presiese tyd wat deur die stelsel geneem word om van een energiestand na 'n ander te verander, staan bekend as oorgangstyd en die waarde en patroon van voltage en stroome tydens hierdie periode staan bekend as die oorgangsreaksie.

'n Oorgangsreaksie word gewoonlik met 'n osillasie geassosieer, wat of gesouteneerd of afneem in aard kan wees. Die presiese aard van die stelsel hang af van die parameters van die stelsel. Enige stelsel kan met 'n lineêre differensiaalvergelyking voorgestel word. Die oplossing van hierdie lineêre differensiaalvergelyking gee die reaksie van die stelsel. Die voorstelling van 'n beheersisteem deur 'n lineêre differensiaalvergelyking van funksies van tyd en sy oplossing staan kollektief bekend as tydgebied analise van die beheersisteem.

Stapfunksie

Laat ons 'n onafhanklike voltage-bron of 'n batterij neem wat aan 'n voltmeter via 'n skakelaar, s, gekoppel is. Dit is duidelik uit die figuur hieronder, wanneer die skakelaar s oop is, is die voltage tussen die voltmeter terminals nul. As die voltage tussen die voltmeter terminals as v (t) voorgestel word, kan die situasie wiskundig voorgestel word as

Nou laat ons oorweeg dat by t = 0, die skakelaar toe is en onmiddellik die batterij voltage V volt verskyn tussen die voltmeter en dié situasie kan voorgestel word as,

Deur die bo-vereende vergelykings te kombineer, kry ons

In die bostaande vergelykings, as ons 1 plaas in die plek van V, kry ons 'n eenheid stapfunksie wat gedefinieer kan word as

Nou laat ons die Laplace-transformasie van die eenheid stapfunksie ondersoek. Laplace-transformasie van enige funksie kan verkry word deur hierdie funksie met e-st te vermenigvuldig en die vermenigvuldigde van 0 tot oneindigheid te integreer.
Fig 6.2.1

As invoer R(s) is, dan

Rampefunksie

Die funksie wat deur 'n hellende reguitlyn verteenwoordig word wat die oorsprong snijd, staan bekend as rampefunksie. Dit beteken dat hierdie funksie by nul begin en lineêr met tyd toeneem of afneem. 'n Rampefunksie kan voorgestel word as,

Hier in hierdie bostaande vergelyking, is k die helling van die lyn.
Fig 6.2.2
Nou laat ons die Laplace-transformasie van die rampefunksie ondersoek. Soos ons vroeër gesê het, kan Laplace-transformasie van enige funksie verkry word deur hierdie funksie met e-st te vermenigvuldig en die vermenigvuldigde van 0 tot oneindigheid te integreer.

Paraboliese Funksie

Hier, is die waarde van die funksie nul wanneer tyd t<0 en kwadraties wanneer tyd t > 0. 'n Paraboliese funksie kan gedefinieer word as,

Nou laat ons die Laplace-transformasie van die paraboliese funksie ondersoek. Soos ons vroeër gesê het, kan Laplace-transformasie van enige funksie verkry word deur hierdie funksie met e-st te vermenigvuldig en die vermenigvuldigde van 0 tot oneindigheid te integreer.
Fig 6.2.3

Impulsfunksie

'n Impulssegnal word geproduseer wanneer invoer plotseling vir 'n oneindig klein tydduur aan die stelsel toegepas word. Die golfvorm van so 'n segnal word as impulsfunksie voorgestel. As die grootte van so 'n funksie eenheid is, word die funksie eenheidimpulsfunksie genoem. Die eerste tydafgeleide van 'n stapfunksie is 'n impulsfunksie. Dus is die Laplace-transformasie van die eenheidimpulsfunksie net die Laplace-transformasie van die eerste tydafgeleide van die eenheidstapfunksie.
Fig 6.2.4

Tydreaksie van Eerste-orde Beheersisteme

Wanneer die maksimum mag van s in die noemer van 'n oordraffunksie een is, verteenwoordig die oordraffunksie 'n eerste-orde beheersisteem. Gewoonlik kan die eerste-orde beheersisteem voorgestel word as

Tydreaksie vir Stapfunksie

Nou word 'n eenheidstap-invoer aan die stelsel gegee, laat ons dan die uitdrukking van die uitvoer ontleed:

Fig 6.3.2Uit die foutevergelyking sien ons dat as die tyd na oneindigheid benader, bereik die uitvoersignaal eksponensieel die stabiliseringwaarde van een eenheid. Aangesien die uitvoer eksponensieel na die invoer beweeg, is die stabiliseringsfout nul wanneer die tyd na oneindigheid benader.

Laat ons t = T in die uitvoervergelyking plaas en dan kry ons,

Hierdie T word gedefinieer as die tydkonstante van die reaksie en die tydkonstante van 'n reaksiesignaal is die tyd vir watter die signaal na 63,2% van sy finale waarde bereik. Nou, as ons t = 4T in die bostaande uitvoerreaksievergelyking plaas, dan kry ons,

Wanneer die werklike waarde van die reaksie na 98% van die gewenste waarde bereik, word die signaal beskou as bereik aan sy stabiliseringstoestand. Hierdie vereiste tyd vir die bereiking van die signaal na 98% van sy gewenste waarde staan bekend as insteltyd en natuurlik is die insteltyd vier keer die tydkonstante van die reaksie. Die toestand van die reaksie voor die insteltyd staan bekend as oorgangstoestand en die toestand van die reaksie na die insteltyd staan bekend as stabiliseringstoestand. Uit hierdie verduideliking is dit duidelik dat as die tydkonstante van die stelsel kleiner is, bereik die reaksie van die stelsel sy stabiliseringstoestand vinniger.

Tydreaksie vir Rampefunksie