ਕੰਟਰੋਲ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਸਮਾਂ ਡੋਮੇਨ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

کنٹرول سسٹم میں کچھ انرژی کے ذخیرہ کرنے والے عنصر جڑا ہو سکتے ہیں۔ انرژی کے ذخیرہ کرنے والے عناصر عام طور پر الیکٹرکل سسٹم کے مطالعہ میں انڈکٹرز اور کیپیسٹرز ہوتے ہیں۔ ان انرژی کے ذخیرہ کرنے والے عناصر کی موجودگی کی وجہ سے، اگر سسٹم کی انرژی حالت بدل جائے تو یہ ایک انرژی حالت سے دوسری انرژی حالت میں تبدیل ہونے کے لئے کچھ وقت لے گا۔ سسٹم کے ایک انرژی حالت سے دوسری انرژی حالت میں تبدیل ہونے کا بالکل وقت ترانزیئنٹ وقت کہلاتا ہے اور اس دوران وولٹیج اور کرنٹ کی قدر اور نمونہ ترانزیئنٹ ریسپانس کہلاتا ہے۔

ترانزیئنٹ ریسپانس عام طور پر ایک اوسیلیشن سے منسلک ہوتا ہے، جس کی معمولی یا متناقص طبیعت ہو سکتی ہے۔ سسٹم کی بالکل طبیعت سسٹم کے پیرامیٹرز پر منحصر ہوتی ہے۔ کوئی بھی سسٹم لکیری ڈفرونشل ایکویشن کے ذریعے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس لکیری ڈفرونشل ایکویشن کا حل سسٹم کا ریسپانس دیتا ہے۔ کنٹرول سسٹم کی نمائندگی کرنے کا طریقہ اور اس کا حل کولیکٹو لی time domain analysis of the control system کہلاتا ہے۔

Step Function

آئیے ایک مستقل ولٹیج سرس کو یا بیٹری کو ایک ولٹ میٹر کے ساتھ ایک سوئچ کے ذریعے جڑا ہوا لیں۔ یہ واضح ہے کہ جب سوئچ s کھلا ہوتا ہے تو ولٹ میٹر کے درمیان ولٹیج صفر ہوتا ہے۔ اگر ولٹ میٹر کے درمیان ولٹیج v (t) کے طور پر ظاہر کیا جائے تو، اس صورتحال کو ریاضیاتی طور پر یوں ظاہر کیا جا سکتا ہے

اب آئیے t = 0 پر، سوئچ بند ہوجاتا ہے اور فوراً بیٹری کا ولٹیج V ولٹ ولٹ میٹر کے درمیان ظاہر ہوجاتا ہے اور اس صورتحال کو یوں ظاہر کیا جا سکتا ہے،

اوپر والے دونوں مساوات کو ملا کر ہم کو ملتا ہے

اوپر والی مساوات میں اگر ہم V کے جگہ 1 رکھیں تو ہم کو ایک یونٹ سٹیپ فنکشن ملتا ہے جس کو یوں تعریف کیا جا سکتا ہے

اب آئیے یونٹ سٹیپ فنکشن کا لاپلس ترانسفر ملاحظہ کریں۔ کسی بھی فنکشن کا لاپلس ترانسفر اس فنکشن کو e-st سے ضرب دے کر اور 0 سے لامتناہی تک ضرب کر کے نکالا جا سکتا ہے۔
Fig 6.2.1

اگر ان پٹ R(s) ہے تو

Ramp Function

ایک فنکشن جس کی نمائندگی ایک مائل خط کے ذریعے کی جاتی ہے جو مبدا سے گذرتا ہے اسے رامپ فنکشن کہا جاتا ہے۔ یعنی یہ فنکشن صفر سے شروع ہوتا ہے اور وقت کے ساتھ لکیری طور پر بڑھتا یا گھٹتا ہے۔ ایک رامپ فنکشن کو یوں ظاہر کیا جا سکتا ہے،

اس اوپر والی مساوات میں k خط کا مائل ہے۔
Fig 6.2.2
اب آئیے رامپ فنکشن کا لاپلس ترانسفر ملاحظہ کریں۔ جیسا کہ ہم نے پہلے بتایا ہے کہ کسی بھی فنکشن کا لاپلس ترانسفر اس فنکشن کو e-st سے ضرب دے کر اور 0 سے لامتناہی تک ضرب کر کے نکالا جا سکتا ہے۔

Parabolic Function

یہاں، وقت t<0 پر فنکشن کی قدر صفر ہوتی ہے اور وقت t > 0 پر یہ مربعی ہوتا ہے۔ ایک parabolic function کو یوں تعریف کیا جا سکتا ہے،

اب آئیے parabolic function کا لاپلس ترانسفر ملاحظہ کریں۔ جیسا کہ ہم نے پہلے بتایا ہے کہ کسی بھی فنکشن کا لاپلس ترانسفر اس فنکشن کو e-st سے ضرب دے کر اور 0 سے لامتناہی تک ضرب کر کے نکالا جا سکتا ہے۔
Fig 6.2.3

Impulse Function

جب ان پٹ کو ایک ناگہانی طور پر سسٹم کو لامتناہی مدت تک دیا جاتا ہے تو impulse signal پیدا ہوتا ہے۔ ایسے سگنل کا waveform impulse function کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر ایسے فنکشن کی مقدار واحد ہو تو اس فنکشن کو یونٹ impulse function کہا جاتا ہے۔ یونٹ سٹیپ فنکشن کا پہلا وقت کا مشتق impulse function ہوتا ہے۔ اس لئے یونٹ impulse function کا لاپلس ترانسفر یونٹ سٹیپ فنکشن کے پہلے وقت کے مشتق کا لاپلس ترانسفر ہی ہوتا ہے۔
Fig 6.2.4

Time Response of First Order Control Systems

جب ٹرانسفر فنکشن کے نامکمل کے سب سے زیادہ طاقت کی قدر ایک ہوتی ہے تو، یہ ٹرانسفر فنکشن ایک پہلے درجے کا کنٹرول سسٹم ظاہر کرتا ہے۔ عام طور پر، پہلے درجے کا کنٹرول سسٹم کو یوں ظاہر کیا جا سکتا ہے

Time Response for Step Function

اب ایک یونٹ سٹیپ ان پٹ کو سسٹم کو دیا جاتا ہے، تو چلو ہم آؤٹ پٹ کی اظہار کو تجزیہ کریں:

Fig 6.3.2Error equation سے یہ معلوم ہوتا ہے کہ اگر وقت لامتناہی کی طرف جاتا ہے تو آؤٹ پٹ سگنل ایکپوننشیل طور پر استحکامی حالت کی قدر یکائی کی طرف بڑھتا ہے۔ کیونکہ آؤٹ پٹ ان پٹ کی طرف ایکپوننشیل طور پر بڑھ رہا ہے، اس لئے استحکامی حالت میں غلطی وقت کی طرف لامتناہی کی طرف جاتا ہوئے صفر ہوتی ہے۔

چلو ہم آؤٹ پٹ مساوات میں t = T رکھیں تو ہم کو ملتا ہے،

یہ T ریسپانس کا وقتی دائم تعریف کیا جاتا ہے اور ریسپانس سگنل کا وقتی دائم ایسے وقت کی طرف سے ہوتا ہے جس کے دوران سگنل اپنی آخری قدر کی 63.2 % تک پہنچ جاتا ہے۔ اب اگر ہم اوپر والی آؤٹ پٹ ریسپانس مساوات میں t = 4T رکھیں تو ہم کو ملتا ہے،

جب حقیقی قدر ریسپانس کی خواہ شدہ قدر کی 98% تک پہنچ جاتی ہے تو سگنل کو استحکامی حالت کا کہا جاتا ہے۔ یہ مطلوبہ وقت جس کے دوران سگنل خواہ شدہ قدر کی 98% تک پہنچ جاتا ہے کو setting time کہا جاتا ہے اور بالکل طور پر setting time وقتی دائم کا چار گنا ہوتا ہے۔ ریسپانس کی setting time سے پہلی حالت کو ترانزیئنٹ حالت کہا جاتا ہے اور setting time کے بعد کی حالت کو استحکامی حالت کہا جاتا ہے۔ اس تفصیل سے یہ واضح ہوتا ہے کہ اگر سسٹم کا وقتی دائم چھوٹا ہو تو سسٹم کا ریسپانس استحکامی حالت تک تیزی سے پہنچ جاتا ہے۔

ਟਿਪ