ניתוח תחום הזמן של מערכת הבקרה

במערכת הבקרה עשויות להיות מתחברות אליה איברים אחסוני אנרגיה. איברים אחסוני אנרגיה הם בדרך כלל אינדוקטורים ו-קונדנסטורים במקרה של מערכת חשמלית. בשל הימצאותם של איברים אלה, אם מצב האנרגיה של המערכת מתפרץ, ייקח זמן מסוים כדי לעבור ממצב אנרגיה אחד למצב אחר. הזמן המדויק שהמערכת לוקחת להשתנות ממצב אנרגיה אחד לשני מכונה זמן טרנסיאנטי והערך והדפוס של מתחים ו-זרמים במהלך התקופה הזו מכונים התגובה הטרנסיאנטית.

התגובה הטרנסיאנטית היא בדרך כלל קשורה לאוסילציה, שיכולה להיות מתמשכת או נזלת בטבעה. הטבע המדויק של המערכת תלוי בפרמטרים שלה. כל מערכת יכולה ליוצג על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית. הפתרון של משוואה דיפרנציאלית ליניארית נותן את התגובה של המערכת. הצגת מערכת הבקרה באמצעות משוואה דיפרנציאלית ליניארית של פונקציות זמן והפתרון שלה נקראת באופן קולקטיבי ניתוח בזמן של מערכת הבקרה.

פונקציית צעד

נניח שיש לנו מקור מתח עצמאי או בטרייה המחוברת למגלה מתח באמצעות סוויץ, s. ברור מהשרטוט שלהלן, בכל פעם שהסוויץ s פתוח, המתח המופיע בין הקצוות של מגלה המתח הוא אפס. אם המתח בין קצות מגלה המתח מיוצג כ v (t), ניתן לייצג את המצב הזה מתמטית כ

כעת נתבונן ב t = 0, הסוויץ נסגר והמתח של הבטרייה V וולט מופיע מיד על מגלה המתח ואת המצב הזה ניתן לייצג כך,

בהרכבת שתי המשוואות הנ"ל נקבל

במשוואות למעלה אם נשים 1 במקום V, נקבל פונקציית צעד יחידה שאפשר להגדיר אותה כ

כעת נבדוק את הטרנספורמציה של לפלאס של פונקציית צעד יחידה. טרנספורמציה של לפלאס של כל פונקציה ניתנת לקבל על ידי הכפלת הפונקציה ב e-st והאינטגרציה של המכפלה מ 0 עד אינסוף.
תמונה 6.2.1

אם הקלט הוא R(s), אז

פונקציית רמפה

הפונקציה המיוצגת על ידי קו ישר נטוי החותך את הראשית מכונה פונקציית רמפה. כלומר, הפונקציה הזו מתחילת מאפס וממשיכה לעלות או לרדת בצורה ליניארית עם הזמן. פונקציית רמפה יכולה ליוצג כך,

כאן במשוואה למעלה, k הוא השיפוע של הקו.
תמונה 6.2.2
כעת נבדוק את הטרנספורמציה של לפלאס של פונקציית רמפה. כפי שאמרנו קודם, טרנספורמציה של לפלאס של כל פונקציה ניתנת לקבל על ידי הכפלת הפונקציה ב e-st והאינטגרציה של המכפלה מ 0 עד אינסוף.

פונקציה פרבולית

כאן, ערך הפונקציה הוא אפס כאשר זמן t<0 ורביעי כאשר זמן t > 0. פונקציה פרבולית יכולה להוגדר כך,

כעת נבדוק את טרנספורמציה של לפלאס של פונקציה פרבולית. כפי שאמרנו קודם, טרנספורמציה של לפלאס של כל פונקציה ניתנת לקבל על ידי הכפלת הפונקציה ב e-st והאינטגרציה של המכפלה מ 0 עד אינסוף.
תמונה 6.2.3

פונקציית פולס

אות פולס נוצר כאשר קלט מופעל למערכת למשך זמן אינפיניטסימלי. תבנית הגל של אות כזה מיוצגת כפונקציית פולס. אם ערכה של פונקציה כזו הוא יחידה, אז הפונקציה מכונה פונקציית פולס יחידה. הנגזרת הראשונה של פונקציית צעד היא פונקציית פולס. לכן, טרנספורמציה של לפלאס של פונקציית פולס יחידה היא פשוט טרנספורמציה של לפלאס של הנגזרת הראשונה של פונקציית צעד יחידה.
תמונה 6.2.4

תגובה בזמן של מערכות בקרה מסדר ראשון

כאשר החזקה המקסימלית של s במכנה של פונקציית העברה היא אחת, פונקציית ההעברה מייצגת מערכת בקרה מסדר ראשון. בדרך כלל, מערכת בקרה מסדר ראשון יכולה ליוצג כך

תגובה בזמן עבור פונקציית צעד

כעת, אם נתון למערכת קלט של צעד יחידה, נבדוק את הביטוי של הפלט:

תמונה 6.3.2מסתבר מהמשוואה של השגיאה שאם הזמן מתקרב לאינסוף, אות הפלט מגיע אקספוננציאלית לערך הסטטי של יחידה אחת. כיוון שהפלט מתקרב לאינפוט אקספוננציאלית, השגיאה הסטטית היא אפס כאשר הזמן מתקרב לאינסוף.

נניח כי t = T במשוואת הפלט ואז נקבל,

T מוגדר כקבוע הזמן של התגובה וקבוע הזמן של אות תגובה הוא הזמן בו האות מגיע ל-63.2% מהערך הסופי שלו. עכשיו אם נניח כי t = 4T במשוואת התגובה מעל, נקבל,

כאשר הערך האמיתי של התגובה מגיע ל-98% מהערך המבוקש, האות נחשב כהגיע לתנאי הסטטיים שלו. הזמן הנדרש להגיע ל-98% מהערך המבוקש מכונה זמן ההצבה והוא ארבע פעמים קבוע הזמן של התגובה. תנאי התגובה לפני זמן ההצבה מכונים תנאי טרנסיאנט ותנאי התגובה אחרי זמן ההצבה מכונים תנאי סטטיים. מתוך הסבר זה ברור שאם קבוע הזמן של המערכת קטן יותר, התגובה של המערכת מגיעה לתנאי הסטטיים שלה מהר יותר.

תגובה בזמן עבור פונקציית רמפה

במקרה זה, במהלך מצב הסטטי, אות הפלט נופל מאחור אחרי אות הקלט בזמן שווה לקבוע הזמן של המערכת. אם קבוע הזמן של המערכת קטן יותר, השגיאה המיקומית של התגובה מצטמצמת.

תגובה בזמן עבור פונקציית פולס

תשלום טיפ