Analisi nel dominio del tempo del sistema di controllo

In un sistema di controllo, possono essere presenti alcuni elementi di accumulo di energia. Gli elementi di accumulo di energia sono generalmente induttori e condensatori in caso di un sistema elettrico. A causa della presenza di questi elementi di accumulo di energia, se lo stato energetico del sistema viene disturbato, ci vorrà un certo tempo per passare da uno stato energetico all'altro. Il tempo esatto impiegato dal sistema per cambiare da uno stato energetico a un altro è noto come tempo transitorio e il valore e il modello di tensioni e correnti durante questo periodo sono noti come risposta transitoria.

Una risposta transitoria è solitamente associata a un'oscillazione, che può essere sostenuta o decadente nella sua natura. La natura esatta del sistema dipende dai parametri del sistema. Qualsiasi sistema può essere rappresentato con un'equazione differenziale lineare. La soluzione di questa equazione differenziale lineare fornisce la risposta del sistema. La rappresentazione di un sistema di controllo mediante un'equazione differenziale lineare di funzioni del tempo e la sua soluzione vengono collettivamente chiamate analisi nel dominio del tempo del sistema di controllo.

Funzione a gradino

Prendiamo una sorgente di tensione indipendente o una batteria che è collegata a un voltmetro tramite un interruttore, s. È chiaro dalla figura sottostante, ogni volta che l'interruttore s è aperto, la tensione che appare tra i terminali del voltmetro è zero. Se la tensione tra i terminali del voltmetro è rappresentata come v (t), la situazione può essere rappresentata matematicamente come

Ora consideriamo a t = 0, l'interruttore viene chiuso e istantaneamente la tensione della batteria V volt appare sul voltmetro e questa situazione può essere rappresentata come,

Combinando le due equazioni sopra otteniamo

Nelle equazioni sopra, se mettiamo 1 al posto di V, otterremo una funzione a gradino unitario che può essere definita come

Ora esaminiamo la trasformata di Laplace della funzione a gradino unitario. La trasformata di Laplace di qualsiasi funzione può essere ottenuta moltiplicando questa funzione per e-st e integrando il prodotto da 0 all'infinito.
Figura 6.2.1

Se l'ingresso è R(s), allora

Funzione rampa

La funzione rappresentata da una linea retta inclinata che interseca l'origine è nota come funzione rampa. Ciò significa che questa funzione inizia da zero e aumenta o diminuisce linearmente nel tempo. Una funzione rampa può essere rappresentata come,

In questa equazione sopra, k è il coefficiente angolare della linea.
Figura 6.2.2
Ora esaminiamo la trasformata di Laplace della funzione rampa. Come abbiamo detto prima, la trasformata di Laplace di qualsiasi funzione può essere ottenuta moltiplicando questa funzione per e-st e integrando il prodotto da 0 all'infinito.

Funzione parabolica

Qui, il valore della funzione è zero quando il tempo t<0 e quadratico quando il tempo t > 0. Una funzione parabolica può essere definita come,

Ora esaminiamo la trasformata di Laplace della funzione parabolica. Come abbiamo detto prima, la trasformata di Laplace di qualsiasi funzione può essere ottenuta moltiplicando questa funzione per e-st e integrando il prodotto da 0 all'infinito.
Figura 6.2.3

Funzione impulso

Il segnale impulso viene prodotto quando l'ingresso viene applicato improvvisamente al sistema per una durata infinitesimale di tempo. L'onda di tale segnale è rappresentata come funzione impulso. Se la magnitudine di tale funzione è unitaria, allora la funzione è chiamata funzione impulso unitaria. La derivata temporale prima della funzione a gradino è la funzione impulso. Pertanto, la trasformata di Laplace della funzione impulso unitaria non è altro che la trasformata di Laplace della derivata temporale prima della funzione a gradino unitaria.
Figura 6.2.4

Risposta temporale dei sistemi di controllo del primo ordine

Quando il massimo potere di s nel denominatore di una funzione di trasferimento è uno, la funzione di trasferimento rappresenta un sistema di controllo del primo ordine. Comunemente, il sistema di controllo del primo ordine può essere rappresentato come

Risposta temporale per la funzione a gradino

Ora, un ingresso a gradino unitario viene dato al sistema, analizziamo quindi l'espressione dell'uscita:

Figura 6.3.2Si vede dall'equazione dell'errore che se il tempo si avvicina all'infinito, il segnale di uscita raggiunge esponenzialmente il valore stazionario di un'unità. Poiché l'uscita si avvicina all'ingresso esponenzialmente, l'errore stazionario è zero quando il tempo si avvicina all'infinito.

Mettiamo t = T nell'equazione di uscita e otteniamo,

Questo T è definito come la costante di tempo della risposta e la costante di tempo di un segnale di risposta è il tempo per cui il segnale raggiunge il 63,2% del suo valore finale. Ora, se poniamo t = 4T nell'equazione di risposta di uscita sopra, otteniamo,

Quando il valore effettivo della risposta raggiunge il 98% del valore desiderato, allora il segnale si dice che sia giunto alla sua condizione stazionaria. Questo tempo richiesto per far raggiungere il segnale al 98% del suo valore desiderato è noto come tempo di insediamento e naturalmente il tempo di insediamento è quattro volte la costante di tempo della risposta. La condizione della risposta prima del tempo di insediamento è nota come condizione transitoria e la condizione della risposta dopo il tempo di insediamento è nota come condizione stazionaria. Da questa spiegazione, è chiaro che se la costante di tempo del sistema è più piccola, la risposta del sistema raggiunge la sua condizione stazionaria più velocemente.

Risposta temporale per la funzione rampa

In questo caso, durante la condizione stazionaria, il segnale di uscita rimane indietro rispetto al segnale di ingresso di un tempo uguale alla costante di tempo del sistema. Se la costante di tempo del sistema è più piccola, l'errore posizionale della risposta diventa minore.

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