Часовий аналіз системи керування
У системі керування можуть бути прикріплені деякі елементи зберігання енергії. Елементами зберігання енергії в електричній системі є, як правило, індуктивності та конденсатори. Завдяки наявності цих елементів зберігання енергії, якщо стан енергії системи буде змінений, система знадобить певний час для переходу від одного енергетичного стану до іншого. Точний час, який потрібен системі для зміни одного енергетичного стану на інший, називається перехідним часом, а значення та характер напруг та струмів протягом цього періоду відомий як перехідна відповідь.
Перехідна відповідь, як правило, пов'язана з коливаннями, які можуть бути стабільними або затухаючими за своєю природою. Точна природа системи залежить від параметрів системи. Будь-яку систему можна представити лінійним диференціальним рівнянням. Розв'язок цього лінійного диференціального рівняння дає відповідь системи. Представлення системи керування лінійним диференціальним рівнянням функцій часу та його розв'язок разом називаються аналізом системи керування у часовій області.
Функція сходинки
Розглянемо незалежне джерело напруги або акумулятор, який підключений до вольтметра через перемикач, s. Як видно з нижче наведеної схеми, коли перемикач s відкритий, напруга між контактами вольтметра дорівнює нулю. Якщо напруга між контактами вольтметра позначена як v (t), ситуацію можна математично представити як
Тепер розглянемо, що при t = 0 перемикач замкнуто, і моментально напруга акумулятора V вольт з'являється на вольтметрі, і цю ситуацію можна представити як,
Об'єднавши два вище наведених рівняння, отримуємо
Вище наведених рівняннях, якщо ми підставимо 1 замість V, отримаємо одиничну функцію сходинки, яка може бути визначена як
Тепер розглянемо перетворення Лапласа одиночної функції сходинки. Перетворення Лапласа будь-якої функції можна отримати, помноживши цю функцію на e-st і проінтегрувавши помножене від 0 до нескінченності.
Рис. 6.2.1
Якщо вхід R(s), то
Функція нахилу
Функція, яка представляється нахилом прямої, що перетинає початок координат, відома як функція нахилу. Це означає, що ця функція починається з нуля і лінійно зростає або спадає з часом. Функцію нахилу можна представити як,
У цьому рівнянні k - це нахил прямої.
Рис. 6.2.2
Тепер розглянемо перетворення Лапласа функції нахилу. Як ми говорили раніше, перетворення Лапласа будь-якої функції можна отримати, помноживши цю функцію на e-st і проінтегрувавши помножене від 0 до нескінченності.
Параболічна функція
Значення функції дорівнює нулю, коли час t<0, і є квадратичним, коли час t > 0. Параболічну функцію можна визначити як,
Тепер розглянемо перетворення Лапласа параболічної функції. Як ми казали раніше, перетворення Лапласа будь-якої функції можна отримати, помноживши цю функцію на e-st і проінтегрувавши помножене від 0 до нескінченності.
Рис. 6.2.3
Імпульсна функція
Імпульсний сигнал виробляється, коли вхід несподівано застосовується до системи на нескінченно короткий проміжок часу. Форма такого сигналу представляється як імпульсна функція. Якщо величина такої функції дорівнює одиниці, то функція називається одиничною імпульсною функцією. Похідна за часом функції сходинки є імпульсною функцією. Тому перетворення Лапласа одиничної імпульсної функції є просто перетворенням Лапласа першої похідної за часом одиничної функції сходинки.
Рис. 6.2.4
Часова відповідь систем першого порядку
Коли максимальна степінь s в знаменнику передавальної функції дорівнює одному, передавальна функція представляє систему керування першого порядку. Зазвичай, систему керування першого порядку можна представити як
Часова відповідь для функції сходинки
Тепер, коли система отримує одиничний вхід, давайте аналізувати вираз виходу:
Рис. 6.3.2З рівняння помилки видно, що, коли час наближається до нескінченності, вихідний сигнал експоненціально досягає стаціонарного значення, рівного одиниці. Оскільки вихідний сигнал експоненціально наближається до входу, стаціонарна помилка дорівнює нулю, коли час наближається до нескінченності.
Давайте підставимо t = T у рівняння виходу, і тоді отримаємо,
Це T визначається як часова константа відгуку, і часова константа сигнала відгуку - це час, за який сигнал досягає 63.2 % свого кінцевого значення. Тепер, якщо ми підставимо t = 4T у вищенаведене рівняння відгуку, то отримаємо,
Коли фактичне значення відгуку досягає 98% бажаного значення, сигнал вважається досягшим стаціонарного стану. Цей необхідний час для досягнення сигналом 98% бажаного значення відомий як час установки, і, природно, час установки становить чотири рази більше, ніж часова константа відгуку. Стан відгуку до часу установки відомий як перехідний стан, а стан відгуку після часу установки відомий як стаціонарний стан. З цього пояснення очевидно, що, якщо часова константа системи менша, відгук системи швидше досягає свого стаціонарного стану.
