Vremenska analiza sustava upravljanja

U sustavu upravljanja može biti nekoliko elemenata za pohranu energije. Elementi za pohranu energije su obično indukcioni spojovi i kondenzatori u slučaju električnog sustava. Zbog prisutnosti ovih elemenata za pohranu energije, ako se stanje energije sustava promjeni, potrebno je određeno vrijeme da bi se promijenilo iz jednog stanja energije u drugo. Točno vrijeme koje sustav treba za promjenu iz jednog stanja energije u drugo poznato je kao tranzientno vrijeme, a vrijednost i uzorak napona i struja tijekom toga razdoblja poznati su kao tranzientni odgovor.

Tranzientni odgovor obično ide uz oscilaciju, koja može biti održiva ili nestajna prirode. Točna priroda sustava ovisi o parametrima sustava. Bilo koji sustav se može predstaviti linearnom diferencijalnom jednadžbom. Rješenje te linearne diferencijalne jednadžbe daje odgovor sustava. Predstavljanje sustava upravljanja linearnom diferencijalnom jednadžbom funkcija vremena i njenim rješenjem kolektivno se zove analiza u vremenskom domenu sustava upravljanja.

Korak funkcija

Neka usvojimo neovisnu voltage izvor ili bateriju koja je spojena na voltmetar preko prekidača, s. Jasno je iz slike ispod, kad god je prekidač s otvoren, napon između terminala voltmetra je nula. Ako se napon između terminala voltmetra označi kao v (t), situacija se matematički može predstaviti kao

Sada razmotrimo da je u trenutku t = 0, prekidač zatvoren i odmah se napon baterije V volt javlja na voltmetru, a ta situacija se može predstaviti kao,

Kombiniranjem gornjih dvije jednadžbe dobivamo

U gornjim jednadžbama, ako stavimo 1 umjesto V, dobit ćemo jediničnu korak funkciju koja se može definirati kao

Sada ispitajmo Laplaceova transformaciju jedinične korak funkcije. Laplaceova transformacija bilo koje funkcije se može dobiti množenjem te funkcije sa e-st i integriranjem pomnoženog od 0 do beskonačnosti.
Slika 6.2.1

Ako je ulaz R(s), onda

Rampa funkcija

Funkcija koja se predstavlja pravcem koji siječe ishodište poznata je kao rampa funkcija. To znači da ta funkcija počinje od nule i linearno raste ili pada s vremenom. Rampa funkcija se može predstaviti kao,

Ovdje u ovoj gornjoj jednadžbi, k je nagib pravca.
Slika 6.2.2
Sada ispitajmo Laplaceova transformaciju rampe funkcije. Kao što smo ranije rekli, Laplaceova transformacija bilo koje funkcije se može dobiti množenjem te funkcije sa e-st i integriranjem pomnoženog od 0 do beskonačnosti.

Parabolična funkcija

Ovdje, vrijednost funkcije je nula kada vrijeme t<0, a kvadratna kada vrijeme t > 0. Parabolična funkcija se može definirati kao,

Sada ispitajmo Laplaceova transformacija parabolične funkcije. Kao što smo ranije rekli, Laplaceova transformacija bilo koje funkcije se može dobiti množenjem te funkcije sa e-st i integriranjem pomnoženog od 0 do beskonačnosti.
Slika 6.2.3

Impuls funkcija

Impulsni signal nastaje kada se ulaz nagle primijeni na sustav tijekom beskonačno kratkog vremenskog perioda. Valni oblik takvog signala predstavljen je impulsnom funkcijom. Ako je magnituda takve funkcije jedinica, onda se funkcija naziva jedinična impulsna funkcija. Prvi vremenski derivat korak funkcije je impulsna funkcija. Stoga je Laplaceova transformacija jedinične impulsne funkcije ništa drugo nego Laplaceova transformacija prvog vremenskog derivata jedinične korak funkcije.
Slika 6.2.4

Vremenski odgovor prvorednih sustava upravljanja

Kada je maksimalna snaga s-a u imeniocu transfer funkcije jedan, transfer funkcija predstavlja prvoredni sustav upravljanja. Obično, prvoredni sustav upravljanja se može predstaviti kao

Vremenski odgovor za korak funkciju

Sada se sustavu daje jedinični korak ulaz, onda analizirajmo izraz izlaza:

Slika 6.3.2Iz jednadžbe greške vidljivo je da, ako vrijeme teži beskonačnosti, izlazni signal eksponencijalno doseže stacionarna vrijednost od jedne jedinice. Budući da izlaz eksponencijalno teži ulazu, stacionarna greška je nula kada vrijeme teži beskonačnosti.

Stavimo t = T u jednadžbu izlaza, onda dobivamo,

Ova T definira se kao vremenska konstanta odgovora, a vremenska konstanta odgovora signala je vrijeme potrebno da signal doseže 63,2 % njegove krajnje vrijednosti. Sada, ako stavimo t = 4T u gornju jednadžbu odgovora, onda dobivamo,

Kada stvarna vrijednost odgovora doseže 98% željene vrijednosti, onda se kaže da je signal dosegao svoje stacionarno stanje. Ovo potrebno vrijeme da signal dosegnje 98 % željene vrijednosti poznato je kao postavljanje vremena, a prirodno postavljanje vremena četiri je puta vremenska konstanta odgovora. Stanje odgovora prije postavljanja vremena poznato je kao tranzientno stanje, a stanje odgovora nakon postavljanja vremena poznato je kao stacionarno stanje. Iz ovog objašnjenja jasno je da, ako je vremenska konstanta sustava manja, odgovor sustava brže doseže svoje stacionarno stanje.

Vremenski odgovor za rampa funkciju