Tidsdomæneanalyse af styresystem

I et reguleringssystem kan der være nogle energilagringskomponenter forbundet med det. Energilagringskomponenter er typisk induktorer og kapacitorer i tilfælde af et elektrisk system. På grund af disse energilagringskomponenter, hvis energitilstanden i systemet bliver forstyrret, vil det tage en vis tid at skifte fra den ene energitilstand til den anden. Den præcise tid, som systemet bruger på at skifte fra den ene energitilstand til den anden, kaldes overgangstid, og værdien og mønsteret af spændinger og strømme under denne periode kaldes overgangsrespons.

En overgangsrespons er normalt forbundet med en oscillation, som kan være vedvarende eller aftagende. Den præcise natur af systemet afhænger af systemets parametre. Ethvert system kan repræsenteres med en lineær differentialligning. Løsningen af denne lineære differentialligning giver systemets respons. Repræsentationen af et reguleringssystem ved hjælp af en lineær differentialligning af funktioner af tid og dens løsning kaldes samlet tidsdomæneanalyse af reguleringssystemet.

Trin-funktion

Lad os tage en uafhængig spændingskilde eller en batteri, der er forbundet til en voltmeter via en krydsel, s. Det er tydeligt af figuren nedenfor, at når krydslen s er åben, er spændingen mellem voltmeterens terminaler nul. Hvis spændingen mellem voltmeterens terminaler repræsenteres som v (t), kan situationen matematisk repræsenteres som

Nu lad os overveje, at ved t = 0 lukkes krydslen, og straks dukker batteriets spænding V volt op på voltmeteret, og denne situation kan repræsenteres som,

Ved at kombinere de to ovenstående ligninger får vi

I de ovenstående ligninger, hvis vi sætter 1 i stedet for V, får vi en enhedstrin-funktion, som kan defineres som

Nu lad os undersøge Laplace-transformen af enhedstrin-funktionen. Laplace-transformen af ethvert funktion kan fås ved at gange dette funktion med e-st og integrere det ganget fra 0 til uendelig.
Fig 6.2.1

Hvis input er R(s), så

Rampe-funktion

Funktionen, der repræsenteres ved en skrå ret linje, der skærer origo, kaldes rampe-funktion. Dette betyder, at denne funktion starter fra nul og øges eller formindskes lineært med tiden. En rampe-funktion kan repræsenteres som,

Her i denne ovenstående ligning, er k hældningen af linjen.
Fig 6.2.2
Nu lad os undersøge Laplace-transformen af rampe-funktionen. Som vi sagde tidligere, kan Laplace-transformen af ethvert funktion fås ved at gange dette funktion med e-st og integrere det ganget fra 0 til uendelig.

Parabel-funktion

Her er funktionsværdien nul, når tiden t<0, og kvadratisk, når tiden t > 0. En parabel-funktion kan defineres som,

Nu lad os undersøge Laplace-transformen af parabel-funktionen. Som vi sagde tidligere, kan Laplace-transformen af ethvert funktion fås ved at gange dette funktion med e-st og integrere det ganget fra 0 til uendelig.
Fig 6.2.3

Impuls-funktion

Impuls-signal produceres, når input pludselig anvendes på systemet i en infinitesimal tidsperiode. Bølgeformen af et sådant signal repræsenteres som impuls-funktion. Hvis størrelsen af denne funktion er enhed, kaldes funktionen for enhedsimpuls-funktion. Første tidsderivatet af trin-funktionen er impuls-funktionen. Derfor er Laplace-transformen af enhedsimpuls-funktionen ikke andet end Laplace-transformen af første tidsderivatet af enhedstrin-funktionen.
Fig 6.2.4

Tidsrespons af første ordens reguleringssystemer

Når maksimal effekt af s i nævneren af en overførselsfunktion er én, repræsenterer overførselsfunktionen et første ordens reguleringssystem. Ofte kan et første ordens reguleringssystem repræsenteres som

Tidsrespons for trin-funktion

Nu gives en enhedstrin-input til systemet, lad os nu analysere udtrykket for output:

Fig 6.3.2Det ses af fejl-ligningen, at hvis tiden nærmer sig uendelig, nærmer outputsignal sig eksponentielt til den stabile værdi på en enhed. Da output nærmer sig input eksponentielt, er den stabile fejl nul, når tiden nærmer sig uendelig.

Lad os sætte t = T i output-ligningen, og så får vi,

Dette T defineres som tidskonstanten for responsen, og tidskonstanten for et responssignal er den tid, hvor signalet når 63.2 % af sin endelige værdi. Nu, hvis vi sætter t = 4T i ovenstående output-respons-ligning, får vi,

Når den faktiske værdi af responsen når 98% af den ønskede værdi, siges signalet at være nået til dets stabiltilstand. Den nødvendige tid for at nå signalet til 98 % af dets ønskede værdi kaldes indstillings-tid, og naturligvis er indstillings-tiden fire gange tidskonstanten for responsen. Tilstanden af responsen før indstillings-tiden kaldes overgangstilstand, og tilstanden af responsen efter indstillings-tiden kaldes stabiltilstand. Ud fra denne forklaring er det klart, at hvis tidskonstanten for systemet er mindre, når responsen af systemet dets stabiltilstand hurtigere.

Tidsrespons for rampe-funktion

I dette tilfælde ligger outputsignalet bagved inputsignalet med en tid, der er lig med tidskonstanten for systemet under stabiltilstand. Hvis tidskonstanten for systemet er mindre, bliver positionsfejlen af responsen mindre.

Støt