Időtartomány analízis a vezérlőrendszer esetén

Egy irányítórendszerben lehetnek hozzá csatlakoztatva energiatároló elemek. Az energiatároló elemek általában induktorok és kondenzátorok az elektromos rendszerek esetén. Ezek az energiatároló elemek miatt, ha a rendszer energiaállapota megváltozik, bizonyos időre szüksége van, hogy egy energiaállapotból egy másikba változzon. A pontos idő, amelyet a rendszer egy energiaállapotból a másikba való áttéréshez használ, transzient időnek nevezik, és ezen idő alatti feszültség és áram értékei és mintázatai a transzient válaszként ismertek.

A transzient válasz általában rezgéssel társul, ami fenntartható vagy csökkenő természetű lehet. A rendszer pontos jellegét a rendszer paraméterei határozzák meg. Bármilyen rendszert lineáris differenciálegyenlettel reprezentálhatunk. Ennek a lineáris differenciálegyenletnek a megoldása adja a rendszer válaszát. A rendszer reprezentálása lineáris differenciálegyenlettel, amely függvényeket tartalmaz az időtől, valamint ennek a megoldása együttesen hívható időtartomány-elemzés irányítórendszereknél.

Lépcsős függvény

Vegyünk egy független feszültségforrást vagy akkumulátort, amelyet egy voltmérővel kapcsolnak össze egy kapcsolóval, s. Nyilvánvaló, hogy amikor a kapcsoló s nyitott, a voltmérő végközökre jelenik meg nulla feszültség. Ha a voltmérő végközökre jelenik meg a feszültség, v (t)-vel jelölve, a helyzet matematikailag így reprezentálható

Most tegyük fel, hogy t = 0 pillanatban a kapcsoló bezáródik, és azonnal a batáriafeszültség V volt jelenik meg a voltmérőn, és ez a helyzet így reprezentálható,

A fenti két egyenlet kombinálásával kapjuk

A fenti egyenletekben, ha 1-et helyettesítünk V helyére, egység lépcsős függvényt kapunk, amely definiálható így:

Most vizsgáljuk meg az egység lépcsős függvény Laplace-transzformáltját. Bármely függvény Laplace-transzformáltját úgy kaphatjuk, hogy megszorozzuk ezt a függvényt e-st-el, és integráljuk a szorzatot 0-tól végtelenig.
Fig 6.2.1

Ha a bemenet R(s), akkor

Ramp függvény

A függvény, amely egy ferde egyenes vonallal ábrázolható, ami metszi az origót, ramp függvénynek nevezik. Ez azt jelenti, hogy ez a függvény nulláról indul, és lineárisan növekszik vagy csökken az idővel. Egy ramp függvény így reprezentálható:

A fenti egyenletben, k a vonal meredeksége.
Fig 6.2.2
Most vizsgáljuk meg a ramp függvény Laplace-transzformáltját. Ahogy korábban mondtuk, bármely függvény Laplace-transzformáltját úgy kaphatjuk, hogy megszorozzuk ezt a függvényt e-st-el, és integráljuk a szorzatot 0-tól végtelenig.

Parabolikus függvény

Itt, a függvény értéke nulla, amikor az idő t<0, és kvadratikus, amikor az idő t > 0. Egy parabolikus függvény így definiálható:

Most vizsgáljuk meg a parabolikus függvény Laplace-transzformáltját. Ahogy korábban mondtuk, bármely függvény Laplace-transzformáltját úgy kaphatjuk, hogy megszorozzuk ezt a függvényt e-st-el, és integráljuk a szorzatot 0-tól végtelenig.
Fig 6.2.3

Impulzus függvény

Impulzusszignál keletkezik, amikor a bemenet hirtelen alkalmazódik a rendszerre végtelenül rövid ideje. Az ilyen jel időbeli hullámforma impulzus függvényként ábrázolható. Ha a függvény nagysága egység, akkor az egység impulzus függvényről beszélünk. Az egység lépcsős függvény első időbeli deriváltja az impulzus függvény. Tehát az egység impulzus függvény Laplace-transzformáltja nem más, mint az egység lépcsős függvény első időbeli deriváltjának Laplace-transzformáltja.
Fig 6.2.4

Elsőrendű irányítórendszerek időválasza

Amikor a s legmagasabb hatványa a nevezőben egy, a továbbítási függvény elsőrendű irányítórendszert képvisel. Általában az elsőrendű irányítórendszer így reprezentálható:

Lépcsős függvény időválasza

Most adjunk egy egység lépcsős bemenetet a rendszerhez, majd elemzők a kimeneti kifejezést:

Fig 6.3.2Látható a hibaequation-ből, hogy ha az idő végtelenhez közelít, a kimeneti jel exponenciálisan elérte az egy egységnyi állapotértéket. Mivel a kimenet exponenciálisan közelít a bemenethez, a hiba nulla, amikor az idő végtelenhez közelít.

Tegyük fel, hogy t = T a kimeneti egyenletben, akkor kapjuk:

Ezt T-ként definiáljuk a válasz időállandójaként, és a válasz időállandója az, amikor a jel eléri a végleges értékének 63,2%-át. Most, ha t = 4T-t helyettesítünk a fenti kimeneti válasz egyenletbe, akkor kapjuk:

Amikor a jel aktuális értéke eléri a kívánt érték 98%-át, akkor a jel elérte a sebességi állapotát. Ez a szükséges idő, hogy a jel elérje a kívánt érték 98%-át, beállítási időnek nevezik, és természetesen a beállítási idő négyszerese a válasz időállandójának. A válasz állapota a beállítási idő előtt transzient állapot, a válasz állapota a beállítási idő után pedig sebességi állapot. Ez alapján, ha a rendszer időállandója kisebb, a rendszer válasza gyorsabban eléri a sebességi állapotát.

Ramp függvény időválasza