Частотный анализ системы управления

В системе управления могут быть подключены элементы, накапливающие энергию. В случае электрической системы такими элементами обычно являются индуктивности и конденсаторы. Из-за наличия этих элементов, если энергетическое состояние системы нарушается, то для перехода от одного энергетического состояния к другому требуется определенное время. Точное время, необходимое системе для изменения одного энергетического состояния на другое, называется переходным временем, а значения и характер напряжений и токов в этот период известны как переходный отклик.

Переходный отклик обычно связан с колебаниями, которые могут быть устойчивыми или затухающими по своей природе. Точная природа системы зависит от параметров системы. Любую систему можно представить линейным дифференциальным уравнением. Решение этого линейного дифференциального уравнения дает отклик системы. Представление системы управления линейным дифференциальным уравнением функций времени и его решение в совокупности называются анализом во временной области системы управления.

Функция единичного скачка

Рассмотрим независимый источник напряжения или батарею, подключенную к вольтметру через переключатель s. Из рисунка ниже видно, что когда переключатель s открыт, напряжение между выводами вольтметра равно нулю. Если напряжение между выводами вольтметра обозначено как v(t), ситуация может быть математически представлена следующим образом

Теперь предположим, что в момент t = 0 переключатель закрывается, и мгновенно напряжение батареи V вольт появляется на вольтметре, и эта ситуация может быть представлена следующим образом,

Объединив вышеуказанные два уравнения, получаем

В вышеприведенных уравнениях, если мы заменим V на 1, мы получим единичную ступенчатую функцию, которая может быть определена следующим образом

Теперь рассмотрим преобразование Лапласа единичной ступенчатой функции. Преобразование Лапласа любой функции можно получить, умножив эту функцию на e-st и проинтегрировав произведение от 0 до бесконечности.
Рис. 6.2.1

Если вход R(s), то

Линейная функция (функция наклона)

Функция, представленная наклонной прямой, пересекающей начало координат, называется линейной функцией. Это означает, что функция начинается с нуля и линейно увеличивается или уменьшается со временем. Линейная функция может быть представлена следующим образом,

Здесь в этом уравнении k — это наклон линии.
Рис. 6.2.2
Теперь рассмотрим преобразование Лапласа линейной функции. Как мы уже говорили, преобразование Лапласа любой функции можно получить, умножив эту функцию на e-st и проинтегрировав произведение от 0 до бесконечности.

Параболическая функция

Здесь значение функции равно нулю, когда время t<0, и является квадратичным, когда время t > 0. Параболическую функцию можно определить следующим образом,

Теперь рассмотрим преобразование Лапласа параболической функции. Как мы уже говорили, преобразование Лапласа любой функции можно получить, умножив эту функцию на e-st и проинтегрировав произведение от 0 до бесконечности.
Рис. 6.2.3

Импульсная функция

Импульсный сигнал возникает, когда вход внезапно подается на систему на бесконечно малый промежуток времени. Форма такого сигнала представлена импульсной функцией. Если величина такой функции равна единице, то функция называется единичной импульсной функцией. Первая производная по времени ступенчатой функции является импульсной функцией. Следовательно, преобразование Лапласа единичной импульсной функции представляет собой преобразование Лапласа первой производной по времени единичной ступенчатой функции.
Рис. 6.2.4

Отклик во времени систем первого порядка

Когда максимальная степень s в знаменателе передаточной функции равна единице, передаточная функция представляет систему управления первого порядка. Обычно система управления первого порядка может быть представлена следующим образом

Отклик во времени для ступенчатой функции

Теперь давайте рассмотрим выражение выходного сигнала, когда на систему подается единичный ступенчатый вход:

Рис. 6.3.2
Из уравнения ошибки видно, что если время стремится к бесконечности, выходной сигнал экспоненциально достигает стационарного значения, равного одной единице. Поскольку выходной сигнал экспоненциально приближается к входному, стационарная ошибка равна нулю, когда время стремится к бесконечности.

Пусть t = T в уравнении выходного сигнала, тогда мы получаем,

Это T определяется как постоянная времени отклика, и постоянная времени отклика сигнала — это время, за которое сигнал достигает 63,2% своего конечного значения. Теперь, если мы подставим t = 4T в вышеуказанное уравнение выходного отклика, мы получим,

Когда фактическое значение отклика достигает 98% желаемого значения, сигнал считается достигшим стационарного состояния. Это требуемое время для достижения сигнала 98% желаемого значения называется временем установления, и естественно, время установления в четыре раза больше постоянной времени отклика. Состояние отклика до времени установления называется переходным состоянием, а состояние после времени установления — стационарным состоянием. Из этого объяснения ясно, что если постоянная времени системы меньше, отклик системы быстрее достигает стационарного состояния.

Отклик во времени для линейной функции

В этом случае, в стационарном состоянии, выходной сигнал отстает от входного сигнала на время, равное постоянной времени системы. Если постоянная времени системы меньше, позиционная ошибка отклика становится меньше.

Отклик во времени для импульсной функции

В вышеуказанном объяснении отклика системы управления мы видели, что ступенчатая функция является первой производной линейной функции, а импульсная функция — первой производной ступенчатой функции. Также было установлено, что отклик во времени ступенчатой функции является первой производной отклика во времени линейной функции, а отклик во времени импульсной функции — первой производной отклика во времени ступенчатой функции.