Análise no Domínio do Tempo do Sistema de Controle
Em um sistema de controle, pode haver alguns elementos armazenadores de energia anexados a ele. Os elementos armazenadores de energia são geralmente indutores e capacitores no caso de um sistema elétrico. Devido à presença desses elementos armazenadores de energia, se o estado de energia do sistema for perturbado, levará certo tempo para mudar de um estado de energia para outro. O tempo exato que o sistema leva para mudar de um estado de energia para outro é conhecido como tempo transitório e o valor e o padrão de tensões e correntes durante esse período são conhecidos como resposta transitória.
Uma resposta transitória é normalmente associada a uma oscilação, que pode ser sustentada ou decrescente em natureza. A natureza exata do sistema depende dos parâmetros do sistema. Qualquer sistema pode ser representado por uma equação diferencial linear. A solução dessa equação diferencial linear dá a resposta do sistema. A representação de um sistema de controle por uma equação diferencial linear de funções de tempo e sua solução é coletivamente chamada de análise no domínio do tempo do sistema de controle.
Função de Degrau
Vamos considerar uma fonte de tensão independente ou uma bateria que está conectada a um voltímetro através de um interruptor, s. É claro a partir da figura abaixo, sempre que o interruptor s estiver aberto, a tensão que aparece entre os terminais do voltímetro é zero. Se a tensão entre os terminais do voltímetro for representada como v (t), a situação pode ser representada matematicamente como
Agora, vamos considerar que, em t = 0, o interruptor é fechado e instantaneamente a tensão da bateria V volts aparece no voltímetro e essa situação pode ser representada como,
Combinando as duas equações acima, obtemos
Nas equações acima, se colocarmos 1 no lugar de V, obteremos uma função degrau unitário que pode ser definida como
Agora, vamos examinar a transformada de Laplace da função degrau unitário. A transformada de Laplace de qualquer função pode ser obtida multiplicando esta função por e-st e integrando o produto de 0 a infinito.
Figura 6.2.1
Se a entrada for R(s), então
Função Rampante
A função que é representada por uma linha reta inclinada intersectando a origem é conhecida como função rampante. Isso significa que esta função começa em zero e aumenta ou diminui linearmente com o tempo. Uma função rampante pode ser representada como,
Na equação acima, k é a inclinação da linha.
Figura 6.2.2
Agora, vamos examinar a transformada de Laplace da função rampante. Como dissemos anteriormente, a transformada de Laplace de qualquer função pode ser obtida multiplicando esta função por e-st e integrando o produto de 0 a infinito.
Função Parabólica
Aqui, o valor da função é zero quando o tempo t<0 e é quadrático quando o tempo t > 0. Uma função parabólica pode ser definida como,
Agora, vamos examinar a transformada de Laplace da função parabólica. Como dissemos anteriormente, a transformada de Laplace de qualquer função pode ser obtida multiplicando esta função por e-st e integrando o produto de 0 a infinito.
Figura 6.2.3
Função Impulso
O sinal de impulso é produzido quando a entrada é aplicada subitamente ao sistema por uma duração de tempo infinitesimal. A forma de onda desse sinal é representada como função de impulso. Se a magnitude dessa função for unidade, então a função é chamada de função de impulso unitário. A primeira derivada no tempo da função degrau é a função de impulso. Portanto, a transformada de Laplace da função de impulso unitário é nada mais do que a transformada de Laplace da primeira derivada no tempo da função degrau unitário.
Figura 6.2.4
Resposta no Tempo de Sistemas de Controle de Primeira Ordem
Quando o maior poder de s no denominador de uma função de transferência é um, a função de transferência representa um sistema de controle de primeira ordem. Comumente, o sistema de controle de primeira ordem pode ser representado como
Resposta no Tempo para Função de Degrau
Agora, uma entrada de degrau unitário é dada ao sistema, então vamos analisar a expressão da saída:
Figura 6.3.2É visto na equação de erro que, se o tempo se aproximar do infinito, o sinal de saída atinge exponencialmente o valor de estado estacionário de uma unidade. Como a saída se aproxima da entrada exponencialmente, o erro de estado estacionário é zero quando o tempo se aproxima do infinito.
Vamos colocar t = T na equação de saída e então obtemos,
Este T é definido como a constante de tempo da resposta e a constante de tempo de um sinal de resposta é o tempo para o qual o sinal atinge 63,2% de seu valor final. Agora, se colocarmos t = 4T na equação de resposta de saída acima, então obtemos,
Quando o valor real da resposta atinge 98% do valor desejado, então o sinal é dito ter atingido sua condição de estado estacionário. Este tempo necessário para que a resposta atinja 98% de seu valor desejado é conhecido como tempo de ajuste e, naturalmente, o tempo de ajuste é quatro vezes a constante de tempo da resposta. A condição da resposta antes do tempo de ajuste é conhecida como condição transitória e a condição da resposta após o tempo de ajuste é conhecida como condição de estado estacionário. A partir desta explicação, fica claro que, se a constante de tempo do sistema for menor, a resposta do sistema atinge sua condição de estado estacionário mais rapidamente.
Resposta no Tempo para Função Rampante
Neste caso, durante a condição de estado estacionário, o sinal de saída atrasa-se em relação ao sinal de entrada por um tempo igual à constante de tempo do sistema. Se a constante de tempo do sistema for menor, o erro posicional da resposta torna-se menor.
