Ajoittainen analyysi ohjausjärjestelmästä
Ohjausjärjestelmässä voi olla siihen liitettynä energian varastoimiseen tarkoitettuja komponentteja. Näitä komponentteja ovat yleisesti induktiiviset ja kapasitiiviset komponentit sähköjärjestelmän käsittelyssä. Nämä energian varastoimiseen tarkoitettujen komponenttien vuoksi, jos järjestelmän energiatila häiriintyy, sen vaihtuminen toisesta energiatilasta toiseen vie tietyn ajan. Tätä aikaa kutsutaan siirtymäaikaksi, ja tämän ajan arvo ja kaavio jännitteiden ja virtojen välillä tunnetaan siirtymävastauksena.
Siirtymävastaus on yleensä yhdistetty värähtelyyn, joka voi olla kestävä tai heikkenevä luonteeltaan. Järjestelmän tarkka luonne riippuu järjestelmän parametreistä. Mikä tahansa järjestelmä voidaan esittää lineaarisella differentiaaliyhtälöllä. Tämän lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisu antaa järjestelmän vastauksen. Ohjausjärjestelmän esittäminen lineaarisella differentiaaliyhtälöllä ajan funktioina ja sen ratkaisu yhdessä muodostavat ohjausjärjestelmän aikajanan analyysin.
Vaihefunktio
Otetaan itsenäinen jännitelähteestä tai akusta, joka on yhdistetty jännitemittariin kytkimen, s, avulla. On selvää kuvan perusteella, että kun kytkin s on auki, jännitemittarin pään väliin ilmenee nolla. Jos jännitemittarin pään välin jännite edustetaan v (t):nä, tilanne voidaan matemaattisesti ilmaista seuraavasti
Nyt kuvitellaan, että hetkellä t = 0 kytkin suljetaan, ja välittömästi akun jännite V volt ilmenee jännitemittarin päällä, ja tämä tilanne voidaan ilmaista seuraavasti,
Yhdistämällä nämä kaksi yhtälöä saamme
Jos edellisiin yhtälöihin sijoitamme V:n paikalle 1, saamme yksikkövaihefunktion, jota voidaan määritellä seuraavasti
Tutkitaan nyt yksikkövaihefunktion Laplace-muunnosta. Minkä tahansa funktion Laplace-muunnos voidaan saada kertomalla tämä funktio e-st:llä ja integroimalla kerrottu alkaen 0:sta äärettömyyteen.
Kuva 6.2.1
Jos syöte on R(s), silloin
Rampifunktio
Funktio, jota edustetaan viivalla, joka kulkee origon kautta, tunnetaan rampifunktiona. Tämä tarkoittaa, että funktio alkaa nollasta ja kasvaa tai pienenee lineaarisesti ajan myötä. Rampifunktio voidaan esittää seuraavasti,
Tässä yhtälössä k on suoran kaltevuus.
Kuva 6.2.2
Tutkitaan nyt rampifunktion Laplace-muunnosta. Kuten aiemmin mainittiin, mikä tahansa funktion Laplace-muunnos voidaan saada kertomalla tämä funktio e-st:llä ja integroimalla kerrottu alkaen 0:sta äärettömyyteen.
Paraabelifunktio
Tässä funktion arvo on nolla, kun aika t<0, ja se on toisen asteen, kun aika t > 0. Paraabelifunktio voidaan määritellä seuraavasti,
Tutkitaan nyt paraabelifunktion Laplace-muunnosta. Kuten aiemmin mainittiin, mikä tahansa funktion Laplace-muunnos voidaan saada kertomalla tämä funktio e-st:llä ja integroimalla kerrottu alkaen 0:sta äärettömyyteen.
Kuva 6.2.3
Pulssefunktio
Pulssi signaali tuotetaan, kun syöte annetaan järjestelmälle äärettömän lyhyeksi aikaa. Tällaisen signaalin aaltomuoto edustetaan pulssefunktiolla. Jos tällaisen funktion magnitudi on yksi, funktio kutsutaan yksikköpulssefunktioksi. Yksikkövaihefunktion ensimmäinen aikaderivaatta on pulssefunktio. Siksi yksikköpulssefunktion Laplace-muunnos on sama kuin yksikkövaihefunktion ensimmäisen aikaderivaatan Laplace-muunnos.
Kuva 6.2.4
Ensimmäisen asteen ohjausjärjestelmien aikavastaus
Kun s:n korkein potenssi siirtofunktion nimittäjässä on yksi, siirtofunktio edustaa ensimmäisen asteen ohjausjärjestelmää. Yleisesti ensimmäisen asteen ohjausjärjestelmä voidaan esittää seuraavasti
Vaihefunktion aikavastaus
Nyt, kun järjestelmään annetaan yksikkövaihefunktio, analysoidaan ulostuloa:
Kuva 6.3.2Virheyhtälöstä nähdään, että kun aika lähestyy ääretöntä, ulostulosignaali lähestyy eksponentiaalisesti vakioarvoa yksi. Koska ulostulo lähestyy syötettä eksponentiaalisesti, vakiovirhe on nolla, kun aika lähestyy ääretöntä.
Sijoitetaan t = T ulostuloyhtälöön, ja saamme,
Tämä T määritellään vastauksen aikavakiona, ja aikavakio on aika, jossa signaali saavuttaa 63.2 % lopullisesta arvostaan. Nyt, jos sijoitamme t = 4T yllä mainittuun ulostulovastausyhtälöön, saamme,
Kun vastauksen todellinen arvo saavuttaa 98 % halutusta arvosta, signaalilla sanotaan olevan saavuttanut vakiovaiheensa. Tämä vaadittu aika, jonka kuluessa signaali saavuttaa 98 % halutusta arvosta, tunnetaan asettumisaikana, ja asettumisaika on neljä kertaa vastauksen aikavakio. Vastauksen tila ennen asettumisaikaa kutsutaan siirtymätilaksi, ja vastauksen tila asettumisaikan jälkeen kutsutaan vakiovaiheeksi. Tästä selityksestä on selvää, että jos järjestelmän aikavakio on pienempi, järjestelmän vastaus saavuttaa vakiovaiheensa nopeammin.
Rampifunktion aikavastaus
Tässä tapauksessa vakiovaiheessa ulostulosisalto jää taasijoon syöttösisaallon verrattuna aikavakiolle, joka on järjestelmän aikavakio. Jos järjestelmän aikavakio on pienempi, vastauksen sijaintivirhe on pienempi.
