Уақыт аймагындагы басқару жүйесінің талдауы

Бақылау жүйесінде энергия сактайтын элементтер бар болуы мүмкін. Электр жүйесінің жағдайында энергия сактайтын элементтер көбінесе индукторлар және конденсаторлар. Бұл энергия сактайтын элементтердің қатынасынан, егер жүйенің энергиялық абалы бұзылса, ол бір энергиялық абадан екіншісіне өту үшін белгілі бір уақыт қажет болады. Жүйенің бір энергиялық абаadan екіншісіне өтуге қажет болған так уақыт - бұл транзитивті уақыт, ал осы уақыт ішіндегі вольтаж және ағымдың мәндері мен модельі - транзитивті жауап деп аталады.

Транзитивті жауап көбінесе осцилляциямен байланысты, бұл осцилляция уақытша немесе жейімді болуы мүмкін. Системаның так натурасы системаның параметрлеріне байланысты. Кез келген системаны сызықты дифференциалды теңдеу арқылы көрсетуге болады. Бұл сызықты дифференциалды теңдеудің шешімі - системаның жауабы. Системаны функцияның уақыттық функциясы және оның шешімі арқылы көрсету - бұл бақылау жүйесінің уақыт аралығындағы талдауы деп аталады.

Қадамдық функция

Егер s күнімен батарея вольтметрмен байланысты болса, онда сол күні ачылған кезде, вольтметр терминалдары арасындағы вольтаж нөл болады. Егер вольтметр терминалдары арасындағы вольтаж v (t) ретінде көрсетілсе, ол математикалық түрде төмендегідей көрсетілетіні анық:

Енді t = 0 кезінде, күні жабылып, батарея V вольт вольтметр арасында пайда болады, ол да төмендегідей көрсетілетіні анық:

Жоғарыдағы екі теңдеуді біріктіргендеп, біз мына теңдеуді аламыз

Осы теңдеуде, егер V-ның орнына 1 қойсақ, біз бірлік қадамдық функцияны алады, ол төмендегідей анықталады

Енді біз қадамдық функцияның Лаплас түрлендірімін зерттеңіз. Кез келген функцияның Лаплас түрлендірімін e-st көбейтіп, нөлден шексіздерге дейін интегралдау арқылы алуға болады.
Сурет 6.2.1

Егер вход R(s), онда

Рамптау функциясы

Көлбеу сызығымен басынан өтетін түзу сызықты көрсететін функция - бұл рамптау функциясы. Бұл функция нөлден басталады және уақытпен сызықты өседі немесе кемиді. Рамптау функциясы төмендегідей көрсетілетіні анық:

Бұл теңдеуде, k - сызықтың бұрыштық коэффициенті.
Сурет 6.2.2
Енді біз рамптау функциясының Лаплас түрлендірімін зерттеңіз. Алдыңғыда айтқандай, кез келген функцияның Лаплас түрлендірімін e-st көбейтіп, нөлден шексіздерге дейін интегралдау арқылы алуға болады.

Параболалық функция

Мұнда, уақыт t<0 болғанда функцияның мәні нөл, ал уақыт t > 0 болғанда функция квадраттық. Параболалық функция төмендегідей анықталады:

Енді біз параболалық функцияның Лаплас түрлендірімін зерттеңіз. Алдыңғыда айтқандай, кез келген функцияның Лаплас түрлендірімін e-st көбейтіп, нөлден шексіздерге дейін интегралдау арқылы алуға болады.
Сурет 6.2.3

Импульс функциясы

Импульс сигналы, егер системаға кез келген уақыттың бесінші бөлігінде тез қосылатын болса, пайда болады. Бұл сигналдың формасы импульс функциясы ретінде көрсетіледі. Егер функцияның мәні бірлік болса, онда функция бірлік импульс функциясы деп аталады. Бірлік қадамдық функцияның бірінші уақыттық туындысы - импульс функциясы. Сондықтан бірлік импульс функциясының Лаплас түрлендірімі - бірлік қадамдық функцияның бірінші уақыттық туындысының Лаплас түрлендірімі.
Сурет 6.2.4

Бірінші ретті бақылау жүйелерінің уақыттық жауаптары

Егер передаточная функцияның знаменателіндегі s-тің максималды дәрежесі бір болса, онда передаточная функция бірінші ретті бақылау жүйесін көрсетеді. Көбінесе, бірінші ретті бақылау жүйесі төмендегідей көрсетілетіні анық:

Қадамдық функция үшін уақыттық жауап

Енді системага бірлік қадамдық вход берілсе, онда шығыс сигналының өрнегін талдайық:

Сурет 6.3.2Ошибкалық теңдеуінен көрінетінімен, егер уақыт шексіздерге ұмтылса, шығыс сигналы экспонента түрінде бірлік стабилді мәнге ұмтылады. Шығыс сигналы входқа экспонента түрінде ұмтылғанынан, уақыт шексіздерге ұмтылғанда стабилді қате нөл болады.

Енді шығыс теңдеуіне t = T қойып, біз мына теңдеуді аламыз:

Бұл T - шығыс сигналының уақыттық параметрі деп аталады, шығыс сигналының уақыттық параметрі - бұл сигналдың соңғы мәнінің 63.2 % - ға ұмтылуға қажет болған уақыт. Енді, егер шығыс теңдеуіне t = 4T қойсақ, біз мына теңдеуді аламыз:

Шығыс сигналы желімді мәнінің 98% - ға ұмтылған кезде, ол стабилді жағдайға ұмтылған деп аталады. Шығыс сигналы желімді мәнінің 98% - ға ұмтылуға қажет болған уақыт - бұл айналу уақыты деп аталады, ал айналу уақыты - шығыс сигналының уақыттық параметрінің төрт есеуі. Шығыс сигналының айналу уақытынан бұрынғы жағдай - бұл транзитивті жағдай, ал айналу уақытынан кейінгі жағдай - бұл стабилді жағдай. Бұл түсіндірме бойынша, егер системаның уақыттық параметрі кіші болса, системаның жауабы стабилді жағдайға тез ұмтылады.