Analiza w dziedzinie czasu systemu sterowania

W systemie sterowania mogą być dołączone elementy przechowujące energię. Elementy przechowujące energię są zazwyczaj cewkami i kondensatorami w przypadku systemu elektrycznego. Ze względu na obecność tych elementów przechowujących energię, jeśli stan energetyczny systemu zostanie zaburzony, zajmie mu to pewien czas, aby przejść z jednego stanu energetycznego do drugiego. Dokładny czas potrzebny systemowi na zmianę jednego stanu energetycznego na inny nazywany jest czasem przejściowym, a wartość i wzorzec napięć i prądów w tym okresie nazywane są odpowiedzią przejściową.

Odpowiedź przejściowa jest zwykle związana z oscylacją, która może być utrzymywana lub tłumiona. Dokładna natura systemu zależy od parametrów systemu. Każdy system można przedstawić za pomocą równania różniczkowego liniowego. Rozwiązanie tego równania różniczkowego liniowego daje odpowiedź systemu. Przedstawienie systemu sterowania za pomocą równania różniczkowego liniowego funkcji czasu i jego rozwiązanie jest zbiorczo nazywane analizą w dziedzinie czasu systemu sterowania.

Funkcja skokowa

Rozważmy niezależne źródło napięcia lub baterię, które są podłączone do woltomierza poprzez przycisk s. Jak widać na poniższym rysunku, gdy przycisk s jest otwarty, napięcie między końcówkami woltomierza wynosi zero. Jeśli napięcie między końcówkami woltomierza oznaczone jest jako v (t), sytuację tę można matematycznie przedstawić jako

Teraz rozważmy, że w chwili t = 0 przycisk jest zamknięty i natychmiast napięcie baterii V volt pojawia się na woltomierzu, co można przedstawić jako,

Łącząc powyższe dwa równania otrzymujemy

W powyższych równaniach, jeśli wprowadzimy 1 zamiast V, otrzymamy funkcję skokową jednostkową, którą można zdefiniować jako

Teraz rozważmy transformatę Laplace'a funkcji skokowej jednostkowej. Transformatę Laplace'a dowolnej funkcji można uzyskać, mnożąc tę funkcję przez e-st i całkując pomnożoną funkcję od 0 do nieskończoności.
Rys. 6.2.1

Jeśli wejście to R(s), to

Funkcja rampowa

Funkcją, która jest reprezentowana przez nachyloną prostą przecinającą początek układu współrzędnych, nazywamy funkcją rampową. Oznacza to, że ta funkcja zaczyna się od zera i rośnie lub maleje liniowo wraz z upływem czasu. Funkcję rampową można przedstawić jako,

W powyższym równaniu k to nachylenie prostej.
Rys. 6.2.2
Teraz rozważmy transformatę Laplace'a funkcji rampowej. Jak wcześniej powiedzieliśmy, transformatę Laplace'a dowolnej funkcji można uzyskać, mnożąc tę funkcję przez e-st i całkując pomnożoną funkcję od 0 do nieskończoności.

Funkcja paraboliczna

W tym przypadku wartość funkcji wynosi zero, gdy czas t<0, a jest kwadratowa, gdy czas t > 0. Funkcję paraboliczną można zdefiniować jako,

Teraz rozważmy transformatę Laplace'a funkcji parabolicznej. Jak wcześniej powiedzieliśmy, transformatę Laplace'a dowolnej funkcji można uzyskać, mnożąc tę funkcję przez e-st i całkując pomnożoną funkcję od 0 do nieskończoności.
Rys. 6.2.3

Funkcja impulsowa

Sygnał impulsowy powstaje, gdy wejście jest nagle zastosowane do systemu na nieskończenie krótki czas. Fala tego sygnału jest reprezentowana jako funkcja impulsowa. Jeśli amplituda takiej funkcji wynosi jednostkę, funkcja ta nazywana jest funkcją impulsową jednostkową. Pierwsza pochodna funkcji skokowej to funkcja impulsowa. Dlatego transformatę Laplace'a funkcji impulsowej jednostkowej można uzyskać, obliczając transformatę pierwszej pochodnej funkcji skokowej jednostkowej.
Rys. 6.2.4

Odpowiedź czasowa systemów sterowania pierwszego rzędu

Gdy maksymalna potęga s w mianowniku transmitancji jest równa jeden, transmitancja reprezentuje system sterowania pierwszego rzędu. Zwykle system sterowania pierwszego rzędu można przedstawić jako

Odpowiedź czasowa dla funkcji skokowej

Teraz, gdy do systemu podano wejście skokowe jednostkowe, analizujmy wyrażenie dla wyjścia:

Rys. 6.3.2Z równania błędu wynika, że gdy czas dąży do nieskończoności, sygnał wyjściowy eksponencjalnie osiąga stałą wartość jednostkową. Ponieważ sygnał wyjściowy eksponencjalnie dąży do wejścia, błąd ustalony jest zerowy, gdy czas dąży do nieskończoności.

Podstawmy t = T do równania wyjścia, wtedy otrzymujemy,

To T definiuje się jako stałą czasową odpowiedzi, a stała czasowa sygnału to czas, po którym sygnał osiąga 63,2% swojej końcowej wartości. Teraz, jeśli podstawimy t = 4T do powyższego równania odpowiedzi wyjściowej, otrzymamy,

Gdy rzeczywista wartość odpowiedzi osiąga 98% żądanej wartości, sygnał uznawany jest za osiągnięcie stanu ustalonego. Czas potrzebny do osiągnięcia sygnałem 98% żądanej wartości nazywany jest czasem ustawienia, który jest cztery razy większy od stałej czasowej odpowiedzi. Stan odpowiedzi przed czasem ustawienia nazywany jest stanem przejściowym, a stan odpowiedzi po czasie ustawienia nazywany jest stanem ustalonym. Z tego wyjaśnienia wynika, że im mniejsza jest stała czasowa systemu, tym szybciej odpowiedź systemu osiąga stan ustalony.

Odpowiedź czasowa dla funkcji rampowej

W tym przypadku, w stanie ustalonym, sygnał wyjściowy opóźnia się względem sygnału wejściowego o czas równy stałej czasowej systemu. Im mniejsza jest stała czasowa systemu, tym mniejszy jest błąd pozycyjny odpowiedzi.

Odpowiedź czasowa dla funkcji impulsowej

W powyższym wyjaśnieniu odpowiedzi czasowej systemu sterowania widzimy, że funkcja skokowa to pierwsza pochodna funkcji rampowej, a funkcja impulsowa to pierws