آنالیز حوزه زمان سیستم کنترل

در یک سیستم کنترل، ممکن است عناصر ذخیره‌کننده انرژی به آن متصل باشند. عناصر ذخیره‌کننده انرژی معمولاً سیم‌پیچ‌ها و کندانسورها در یک سیستم الکتریکی هستند. به دلیل وجود این عناصر ذخیره‌کننده انرژی، اگر وضعیت انرژی سیستم perturbed شود، زمان معینی برای تغییر از یک وضعیت انرژی به وضعیت دیگر نیاز خواهد بود. زمان دقیقی که سیستم برای تغییر از یک وضعیت انرژی به وضعیت دیگر می‌گذرد را زمان گذرا می‌گویند و مقدار و الگوی ولتاژها و جریان‌ها در این مدت زمان پاسخ گذرا نامیده می‌شود.

پاسخ گذرا معمولاً با نوسان مرتبط است که ممکن است حفظ شده یا در حال کاهش باشد. طبیعت دقیق سیستم به پارامترهای سیستم بستگی دارد. هر سیستم می‌تواند با یک معادله دیفرانسیل خطی نمایش داده شود. حل این معادله دیفرانسیل خطی پاسخ سیستم را می‌دهد. نمایش یک سیستم کنترل با یک معادله دیفرانسیل خطی از توابع زمان و حل آن به طور جمعی تحلیل زمانی سیستم کنترل نامیده می‌شود.

تابع پله

فرض کنید یک منبع ولتاژ مستقل یا یک باتری که از طریق یک سوئیچ s به یک ولتمتر متصل شده است. واضح است که هر زمان که سوئیچ s باز باشد، ولتاژ بین دو انتهای ولتمتر صفر خواهد بود. اگر ولتاژ بین دو انتهای ولتمتر را با v (t) نمایش دهیم، این وضعیت را می‌توان به صورت ریاضی به صورت زیر نمایش داد

حال فرض کنید در t = 0، سوئیچ بسته شده و به طور فوری ولتاژ باتری V ولت بین ولتمتر ظاهر می‌شود و این وضعیت را می‌توان به صورت زیر نمایش داد

با ترکیب دو معادله فوق به دست می‌آوریم

در معادلات فوق اگر عدد 1 را به جای V قرار دهیم، یک تابع پله واحد به دست می‌آید که می‌توان آن را به صورت زیر تعریف کرد

حال بیایید تبدیل لاپلاس تابع پله واحد را بررسی کنیم. تبدیل لاپلاس هر تابع می‌تواند با ضرب این تابع در e-st و یکپارچه سازی ضرب شده از 0 تا بی‌نهایت به دست آید.
شکل 6.2.1

اگر ورودی R(s) باشد،

تابع شیب

تابعی که با یک خط مستقیم مایل که از مبدأ می‌گذرد نمایش داده می‌شود، تابع شیب نامیده می‌شود. این بدان معناست که این تابع از صفر شروع می‌شود و به طور خطی با زمان افزایش یا کاهش می‌یابد. یک تابع شیب را می‌توان به صورت زیر نمایش داد

در این معادله بالا، k شیب خط است.
شکل 6.2.2
حال بیایید تبدیل لاپلاس تابع شیب را بررسی کنیم. همانطور که قبلاً گفتیم، تبدیل لاپلاس هر تابع می‌تواند با ضرب این تابع در e-st و یکپارچه سازی ضرب شده از 0 تا بی‌نهایت به دست آید.

تابع سهمی

در اینجا، مقدار تابع وقتی که زمان t<0 صفر است و وقتی که زمان t > 0 دومی است. یک تابع سهمی را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد

حال بیایید تبدیل لاپلاس تابع سهمی را بررسی کنیم. همانطور که قبلاً گفتیم، تبدیل لاپلاس هر تابع می‌تواند با ضرب این تابع در e-st و یکپارچه سازی ضرب شده از 0 تا بی‌نهایت به دست آید.
شکل 6.2.3

تابع ضربه

سیگنال ضربه‌ای زمانی تولید می‌شود که ورودی به طور ناگهانی و برای مدت زمان بسیار کوتاهی به سیستم اعمال می‌شود. شکل موج این سیگنال با تابع ضربه نمایش داده می‌شود. اگر مقدار این تابع یک باشد، تابع را تابع ضربه واحد می‌نامند. مشتق اول تابع پله تابع ضربه است. بنابراین تبدیل لاپلاس تابع ضربه واحد همان تبدیل لاپلاس مشتق اول تابع پله واحد است.
شکل 6.2.4

پاسخ زمانی سیستم‌های کنترل مرتبه اول

وقتی که توان حداکثری s در مخرج تابع انتقال یک باشد، تابع انتقال یک سیستم کنترل مرتبه اول را نشان می‌دهد. معمولاً، یک سیستم کنترل مرتبه اول را می‌توان به صورت زیر نمایش داد

پاسخ زمانی برای تابع پله

اکنون یک ورودی پله واحد به سیستم داده می‌شود، حال بیایید عبارت خروجی را تحلیل کنیم:

شکل 6.3.2 از معادله خطای مشاهده می‌شود که اگر زمان به بی‌نهایت نزدیک شود، سیگنال خروجی به طور نمایی به مقدار حالت پایدار یک واحد می‌رسد. از آنجا که خروجی به طور نمایی به ورودی نزدیک می‌شود، خطای حالت پایدار وقتی که زمان به بی‌نهایت نزدیک می‌شود صفر است.

اگر t = T را در معادله خروجی قرار دهیم، به دست می‌آوریم

این T به عنوان ثابت زمانی پاسخ تعریف می‌شود و ثابت زمانی یک سیگنال پاسخ زمانی است که سیگنال به 63.2 % از مقدار نهایی خود می‌رسد. حال اگر t = 4T را در معادله پاسخ خروجی بالا قرار دهیم، به دست می‌آوریم

وقتی که مقدار واقعی پاسخ به 98% از مقدار مورد نظر می‌رسد، سیگنال به حالت پایدار خود رسیده می‌شود. این زمان لازم برای رسیدن سیگنال به 98 % از مقدار مورد نظر به عنوان زمان تنظیم شناخته می‌شود و طبیعتاً زمان تنظیم چهار برابر ثابت زمانی پاسخ است. شرایط پاسخ قبل از زمان تنظیم به عنوان شرایط گذرا و شرایط پاسخ بعد از زمان تنظیم به عنوان شرایط حالت پایدار شناخته می‌شود. از این توضیحات مشخص است که اگر ثابت زمانی سیستم کوچکتر باشد، پاسخ سی