Analisis Domain Waktu Sistem Kendali

Dalam sistem kontrol, mungkin ada beberapa elemen penyimpan energi yang terpasang padanya. Elemen penyimpan energi umumnya adalah induktor dan kapasitor dalam kasus sistem listrik. Karena adanya elemen-elemen penyimpan energi ini, jika keadaan energi sistem terganggu, akan membutuhkan waktu tertentu untuk berubah dari satu keadaan energi ke keadaan energi lainnya. Waktu pasti yang dibutuhkan oleh sistem untuk mengubah satu keadaan energi ke keadaan energi lainnya dikenal sebagai waktu transien dan nilai serta pola tegangan dan arus selama periode ini dikenal sebagai respons transien.

Respons transien biasanya dikaitkan dengan osilasi, yang mungkin berkelanjutan atau meredam. Sifat pasti dari sistem tergantung pada parameter sistem. Setiap sistem dapat direpresentasikan dengan persamaan diferensial linier. Solusi dari persamaan diferensial linier ini memberikan respons sistem. Representasi dari sistem kontrol oleh persamaan diferensial linier dari fungsi waktu dan solusinya secara kolektif disebut analisis domain waktu dari sistem kontrol.

Fungsi Tangga

Mari kita ambil sumber tegangan independen atau baterai yang dihubungkan ke sebuah voltmeter melalui saklar, s. Jelas dari gambar di bawah, setiap kali saklar s terbuka, tegangan yang muncul antara terminal voltmeter adalah nol. Jika tegangan antara terminal voltmeter direpresentasikan sebagai v (t), situasi ini dapat direpresentasikan secara matematis sebagai

Sekarang mari kita pertimbangkan pada t = 0, saklar ditutup dan seketika tegangan baterai V volt muncul di voltmeter dan situasi tersebut dapat direpresentasikan sebagai,

Menggabungkan kedua persamaan di atas kita mendapatkan

Dalam persamaan di atas, jika kita menempatkan 1 di tempat V, kita akan mendapatkan fungsi tangga satuan yang dapat didefinisikan sebagai

Sekarang mari kita periksa transformasi Laplace dari fungsi tangga satuan. Transformasi Laplace dari fungsi apapun dapat diperoleh dengan mengalikan fungsi tersebut dengan e-st dan mengintegrasikan hasil perkalian dari 0 hingga tak terhingga.
Gambar 6.2.1

Jika input adalah R(s), maka

Fungsi Ramp

Fungsi yang direpresentasikan oleh garis lurus miring yang memotong asal disebut fungsi ramp. Artinya, fungsi ini dimulai dari nol dan meningkat atau menurun linear dengan waktu. Fungsi ramp dapat direpresentasikan sebagai,

Di sini, dalam persamaan di atas, k adalah kemiringan garis.
Gambar 6.2.2
Sekarang mari kita periksa transformasi Laplace dari fungsi ramp. Seperti yang telah kita katakan sebelumnya, transformasi Laplace dari fungsi apapun dapat diperoleh dengan mengalikan fungsi tersebut dengan e-st dan mengintegrasikan hasil perkalian dari 0 hingga tak terhingga.

Fungsi Parabolik

Di sini, nilai fungsi adalah nol ketika waktu t<0 dan kuadratik ketika waktu t > 0. Fungsi parabolik dapat didefinisikan sebagai,

Sekarang mari kita periksa transformasi Laplace dari fungsi parabolik. Seperti yang telah kita katakan sebelumnya, transformasi Laplace dari fungsi apapun dapat diperoleh dengan mengalikan fungsi tersebut dengan e-st dan mengintegrasikan hasil perkalian dari 0 hingga tak terhingga.
Gambar 6.2.3

Fungsi Impuls

Sinyal impuls dihasilkan ketika input tiba-tiba diterapkan ke sistem untuk durasi waktu yang sangat singkat. Bentuk gelombang sinyal seperti itu direpresentasikan sebagai fungsi impuls. Jika magnitudo fungsi tersebut adalah satu, maka fungsi tersebut disebut fungsi impuls satuan. Turunan pertama waktu dari fungsi tangga adalah fungsi impuls. Oleh karena itu, transformasi Laplace dari fungsi impuls satuan tidak lain adalah transformasi Laplace dari turunan pertama waktu dari fungsi tangga satuan.
Gambar 6.2.4

Tanggapan Waktu Sistem Kontrol Orde Pertama

Ketika pangkat maksimum s dalam penyebut fungsi transfer adalah satu, fungsi transfer tersebut mewakili sistem kontrol orde pertama. Secara umum, sistem kontrol orde pertama dapat direpresentasikan sebagai

Tanggapan Waktu untuk Fungsi Tangga

Sekarang, input tangga satuan diberikan ke sistem, maka mari kita analisis ekspresi output:

Gambar 6.3.2Dari persamaan kesalahan, jika waktu mendekati tak terhingga, sinyal output mencapai eksponensial ke nilai steady-state satu unit. Karena output mendekati input secara eksponensial, kesalahan steady-state adalah nol ketika waktu mendekati tak terhingga.

Mari kita masukkan t = T dalam persamaan output, maka kita mendapatkan,

T ini didefinisikan sebagai konstanta waktu dari respon, dan konstanta waktu dari sinyal respon adalah waktu yang diperlukan untuk sinyal mencapai 63.2 % dari nilai akhirnya. Sekarang, jika kita masukkan t = 4T dalam persamaan respon output di atas, maka kita mendapatkan,

Ketika nilai sebenarnya dari respon mencapai 98% dari nilai yang diinginkan, maka sinyal tersebut dikatakan telah mencapai kondisi steady-statenya. Waktu yang diperlukan untuk mencapai sinyal ke 98 % dari nilai yang diinginkan disebut waktu setting, dan secara alami, waktu setting adalah empat kali dari konstanta waktu respon. Kondisi respon sebelum waktu setting dikenal sebagai kondisi transien dan kondisi respon setelah waktu setting dikenal sebagai kondisi steady-state. Dari penjelasan ini, jelas bahwa jika konstanta waktu sistem lebih kecil, respon sistem akan mencapai kondisi steady-statennya lebih cepat.

Tanggapan Waktu untuk Fungsi Ramp

Dalam kasus ini, selama kondisi steady-state, sinyal output tertinggal di belakang sinyal input sejumlah waktu yang sama dengan konstanta waktu sistem. Jika konstanta waktu sistem lebih kecil, kesalahan posisi respon menjadi lebih sedikit.

Hadiah